Минимальные и гипернормальные топологические группы

• Автор: Стрижов, Павел Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 82 с. : ил.

^ Обозначения и терминология

1. Топологические группы с ограничениями на факторгруппы

1.1. Топологические точно неабелевы группы

1.2. Топологические точно не Т-группы

1.3. Топологические точно бесконечные группы

2. Топологические гипернормальные группы

ф 2.1. Основные свойства топологических гипернормальных

групп

♦ 2.2. Гипернормальные группы с условиями обрыва цепей

подгрупп

Список литературы

С начала развития абстрактной теории групп и по сей день многочисленные исследования вдохновлялись идеей выделения достойного (и доступного) для изучения класса групп путем наложения ограничений на те или иные семейства подгрупп. Достаточно упомянуть основополагающие работы Дедекинда о гамильтоновых группах, Миллера и Морено - о минимальных неабелевых, О. Ю. Шмидта - о минимальных ненильпотентных. После решения в 50-е годы прошлого века 5 проблемы Гильберта открылась возможность разработки подобной проблематики на материале уже не дискретных, а локальнокомпактных топологических групп, где тоже было получено много интересных результатов.
В 1956 г. известный алгебраист Б. Нейман [68] предложил в какой-то мере двойственный подход - наложение ограничений на собственные фактор-группы. Пусть 0 - некоторое групповое свойство. Топологическую группу G назовем точно не Q-группой (короче: jQ-группой), если для любой ее собственной замкнутой нормальной подгруппы N фактор-группа G/N обладает свойством 0, а сама G им не обладает (в дальнейшем будут полезны следующие правила сокращений: топологическую группу G будем называть 0°-группой, если Gd будет 0-группой, где G9 - дискретная группа алгебраически изоморфная G; топологическую группу G будем называть индуктивио-О-группой если замыкание каждой конечнопорожденной подгруппы из G будет
0-группой; топологическую группу G будем называть проектвно-О-группой если для любой окрестности U нейтрального элемента в G найдется такая замкнутая нормальная подгруппа N С U, что G/N
будет 0-группой). Если в качестве © принять абелевость, то возникает класс ]Л-групп, в дискретном разрешимом случае классифицированных М. Ньюманом [70], [71] (см. также [73]). Им, в частности, установлено, что разрешимая )Ла-группа С? обладает монолитом М -нетривиальное пересечение всех нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп группы, который совпадает с коммутантом причем, если С не нильпотентна, то (7 расщепляется над М, М изоморфна аддитивной подгруппе некоторого поля Р, а (7/М изоморфна подгруппе мультипликативной группы поля Р, которая аддитивно порождает Р. Если (7 нильпотентна, то она является р-группой с циклическим или квазициклическим центром Е = Z(G), фактор-группа G/Z по которому - элементарная абелева.
Продолжив исследования в данном направлении, Д. Робинсон [72] классифицировал класс разрешимых ]Та-групп, где Т - свойство транзитивного отношения нормальности (топологическая группа (7 обладает свойством транзитивного отношения нормальности, если Ь = Ь < N = N < (7 влечет Ь < (7), который содержит класс )Д9-групп. В [72], в частности, доказывается, что разрешимая)Та-группа С может содержать не более двух минимальных нормальных подгрупп; приводятся примеры )Та-групп с одной нетривиальной минимальной нормальной подгруппой М (в этом случае М - монолит, над которым группа (7 расщепляетсяи), с двумя минимальными нормальными подгруппами (в этом случае они будут циклическими одного и того же простого порядка) и вообше без минимальных нормальных подгрупп.
Чуть раньше, Д. Маккарти [66] устанавливает абелевость радикала Фиттинга .Р(<7) ф Е неполупростой ,]Да-группы С, где Р1 - конечность
Глава 1. Топологические группы с ограничениями на фактор-группы
морфизма а. Во-вторых, Е < N ПА < А влечет наличие в А собственной замкнутой G/А-инвариантной подгруппы, что равносильно наличию собственной замкнутой (с)-инвариантной подгруппы в векторном подпространстве (ео), порожденном вектором ео, а это равносильно наличию в аддитивной группе поля С собственной замкнутой подгруппы Р, порожденной корнями уравнения xs = 1, где s > 4, ф 6. Покажем невозможность последнего, пусть Qj = cos ^ + г sin ^ - корень уравнения xs = 1. Так как s > 4, ф 6, то cos sin ^ - иррациональные при 0 < j < s. Известно, что для любого иррационального числа а и для любого s > 0 найдется такое натуральное п, что |an — [ап] | < е (здесь [ж] - целая часть числа ж). Отсюда следует, что для любого е > 0 найдутся такие p,q,r 6 Z, что 0 < p0Q + qd + г02 < £, а из этого следует плотность Р в С и, ввиду замкнутости Р, Р = С -противоречит выбору Р. Полученное противоречие заканчивает доказательство обратного утверждения.
Вопрос 1.3.2 . Как устроена разрешимая нульмерная локальнокомпактная jF-группа G, у которой G/F(G) - Т-группа?