Арифметические свойства конечных групп лиева типа

• Автор: Гречкосеева, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Глава 1. Основные определения и предварительные результаты

§ 1.1. Конечные группы лиева типа

§ 1.2. Арифметические свойства классических групп лиева типа

§ 1.3. Распознавание по спектру

Глава 2. Бесконечные серии распознаваемых ортогональных групп

§ 2.1. Свойства ортогональных групп

§ 2.2. Доказательство теоремы 2

§ 2.3. Доказательство теоремы 2

§ 2.4. Доказательство теоремы 2

Глава 3. Бесконечные серии распознаваемых линейных групп

§ 3.1. Свойства спектров линейных групп

§ 3.2. Доказательство теоремы 3.1. Квазираспознаваемость
§ 3.3. Завершение доказательства теоремы 3
§ 3.4. Доказательство теоремы 3
§ 3.5. Доказательство теоремы 3
Глава 4. Минимальные подстановочные представления
§ 4.1. Обозначения и предварительные результаты
§ 4.2. Линейные группы
§ 4.3. Симплектические группы
§ 4.4. Ортогональные группы типа Вп
§ 4.5. Ортогональные группы типа Оп
§ 4.6. Ортогональные группы типа 2Д,
§ 4.7. Унитарные группы
Литература

Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
В теории конечных групп большое значение играют так называемые арифметические свойства группы, т. е. свойства, представимые числовыми характеристиками. К ним относятся порядок группы и порядки ее элементов, порядки и индексы различных подгрупп, степени подстановочных и размерности матричных представлений и т. п. В терминах арифметических свойств можно получить содержательное описание группы, а в некоторых случаях и полностью (с точностью до изоморфизма) охарактеризовать ее в классе всех конечных групп. Особенно важным описание в терминах арифметических свойств становится в случае, когда мы имеем дело с неразрешимой группой, среди композиционных факторов которой имеется неабелева простая группа. Согласно классификационной теореме все неабелевы простые группы, помимо спорадических и знакопеременных, являются группами лиева типа. Диссертация посвящена изучению арифметических свойств конечных простых групп лиева типа. В ней рассматриваются две проблемы: вопрос о распознавании этих групп по спектру и задача описания их минимальных подстановочных представлений.
Спектром сэ((7) конечной группы (7 называется множество порядков ее элементов. Группа (7 называется распознаваемой по спектру, если для любой конечной группы Н из равенства ш{Н) = ш((7) следует изоморфизм II ~ С. Другими словами, если обозначить через Л((7) число попарно неизоморфных групп с таким же спектром, что и (7, то группа (7 распознаваема по спектру, если /1(6) = 1. Для групп, которые не являются распознаваемыми, принята следующая терминология: группа б называется почти распознаваемой по спектру, если 1 < /г(С) < сю, и нераспознаваемой по спектру, если Л((7) = оо. Говорят, что для группы б проблема распознавания решена, если известно точное значение Л (О).
Безусловно, вопрос о связи между спектром группы и ее строением изучался специалистами давно. Так, хорошо известно, что группа (7 с а>((7) = {1,2} является элементарной абелевой 2-группой. В 1932 г. Леви и ван дер Варден [52] доказали, что группа в с ш(0) — {1,3} нильпотентна и её ступень нильпотентности ограничена числом три. Нойман [66] описал группы <7 с о;((7) = {1,2,3}. Санов [28]

и М. Холл [49] установили, что группы G, для которых u>(G) С {1,2,3,4}, соответственно, w(G) С {1,2,3,6}, локально нильпотентны. Отметим, что все эти результаты получены без предположения о конечности группы G. Целый ряд результатов был получен и для конечных групп. Выделим среди них результаты Хигмана и Сузуки о конечных группах, спектр которых содержит только степени простых чисел (их называют ЕВРО-группами). В 1957 г. Хигман [50] показал, что порядок конечной разрешимой ЕРРО-группы имеет не более двух простых делителей, а в 1962 г. Сузуки [89] описал все конечные простые ЕРРО-группы. В середине 80-х годов, рассматривая общую проблему строения конечных ЕРРО-групп, китайский математик Ши Вуджи обнаружил (см. [69,72]), что знакопеременная группа Alts и простая линейная группа Ь2{7) однозначно характеризуются своим спектром в классе конечных групп. Именно Ши принадлежит постановка вопроса о распознаваемости конечных групп по спектру в том виде, в котором он сформулирован в диссертационной работе.
После того, как в [81] Ши показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, обязательно нераспознаваема (строгое доказательство этого утверждения содержится в [24]), стало понятно, что содержательной проблема распознаваемости является только для групп, представляющих из себя расширение прямого произведения М простых неабелевых групп с помощью некоторой подгруппы из Out(M). Из всего класса групп с подобным строением первоочередной интерес вызывают группы, для которых произведение М состоит из одного множителя, т. е. простые и почти простые группы. Именно этим группам посвящено подавляющее число работ по проблеме распознаваемости.
Список простых и почти простых групп, для которых вопрос о их распознаваемости решен, можно найти в обзоре Мазурова [26]. Мы приводим этот список, добавив в него результаты, полученные после выхода обзора (табл. 1-3 в § 1.3). Как демонстрирует список, с каждым годом растет количество работ, посвященных этой проблеме, расширяется и география стран, в которых работают специалисты, интересующиеся вопросом распознаваемости; но, тем не менее, завершение исследований по проблеме распознаваемости, даже если ограничиться рассмотрением только конечных простых групп, представляется достаточно отдаленным. Хотелось бы, однако, отметить, что именно в настоящее время в данной области открываются совершенно новые перспективы, позволяющие надеяться на возможность полного решения. Для того чтобы пояснить, каковы эти перспективы, остановимся более подробно на сложившейся схеме проверки свойства распознаваемости простой группы.
§ 3.3. Завершение доказательства теоремы 3

§ 3.3. Завершение доказательства теоремы 3
Оставшаяся часть доказательства может быть проведена при более слабых условиях на п и q, поэтому она оформлена в виде двух предложений.
Предложение 3.3.1. Пусть L = An-i(q), где п = 2т ^ 4, q = 2k ^ 2. Пусть G — конечная группа и К — ее нетривиальная нормальная разрешимая подгруппа, удовлетворяющие условию L < G/K < AutL. Тогда u>(G) ф u>(L).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существует такое простое число г, что 0Т(К) ф К. Обозначим через G и К фактор-группы G/Or(K) и К/От(К) соответственно. Группа К является нетривиальной r-группой. Пусть Ф{К) — ее подгруппа Фраттини. Обозначим через G и К фактор-группы G/Ф(К) яК/Ф(К) соответственно. Поскольку G/K ~ G/К, то достаточно показать, что w{G) ф ш{Ь). Поэтому можно считать, что G — G и что К — К — нетривиальная элементарная абелева г-группа.
Предположим, что С — Сс(К) ф К. Поскольку С — нормальная подгруппа в G, a L проста, то С/К содержит L. Следовательно, г • ui{L) С и(С) С oj(G), что противоречит п. 3 леммы 3.1.1. Таким образом, С = К и L действует на К точно.
Пусть г = 2. По п. 1 леммы 1.2.4 в группе L есть подгруппа Фробениуса с ядром нечетного порядка и циклическим дополнением порядка п. Применяя лемму 1.3.6, получаем, что 2-п — 2m+1 6 co(G). Но 2-период группы L равен 2т; противоречие.
Пусть г ф 2. По п. 2 леммы 1.2.4 в группе L есть подгруппа Фробениуса с ядром порядка qn и циклическим дополнением порядка (г/1-1 — 1 )/d. Применяя лемму 1.3.6, получаем, что г • (qn~l - 1 )/d € u>(G). С другой стороны, п. 1 леммы 3.1.1 утверждает, что г • (g"_1 — 1 )/d ф lo(L). Предложение доказано.
Предложение 3.3.2. Пусть L = An-{q), где п ^ 8, q = 2k ^ 2, (q — 1, n) = 1. Пусть L Доказательство. Группа G содержит подгруппу G = L(a), где порядок образа а в Out L равен некоторому простому числу г. Достаточно показать, что со{Gi) %u)(L), поэтому можно считать, что G = G.
Группа AutL обладает нормальным рядом L < L < AutL, где фактор L/L изоморфен группе полевых автоморфизмов — циклической группе порядка к — и фактор Aut L/L изоморфен группе графовых изоморфизмов — циклической группе порядка 2. Заметим, что в силу условия п ^ 8 существуют примитивные простые делители чисел qn - 1 и qn~l - 1.
Пусть г = 2. Если а ф L, то а — это либо графовый автоморфизм, либо произведение графового и инволютивного полевого автоморфизмов. В первом случае