Малые централизаторы в группах и кольцах Ли

• Автор: Макаренко, Наталья Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 214 с. : ил.

Глава 1. Алгебры Ли с почти регулярным автоморфизмом

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Предварительные сведения

§ 1.3. Критерий разрешимости

§ 1.4. Представители и обобщенные централизаторы

§ 1.5. Основная конструкция

§ 1.6. Свертка гс-элементов

§ 1.7. Завершение доказательства предложения 1.7.1

§ 1.8. Выбор параметров и эффективность доказательства

§ 1.9. Завершение доказательства основных теорем

§ 1.10. Комментарий

Глава 2. Нильпотентный идеал в кольцах Ли
§ 2.1. Постановка задачи
§ 2.2. Случай (^-однородных колец
§ 2.3. Доказательство основных теорем
Глава 3. Градуированные алгебры Ли с малым числом компонент
§ 3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Критерий разрешимости
§ 3.3. Представители и обобщенные централизаторы
§ 3.4. Построение разрешимого идеала и свойства гс-элементов
§ 3.5. Свойства гс-элементов
§ 3.6. Завершение доказательств теорем 3.1 и 3.2
§ 3.7. Алгебры Ли с нильпотентными алгебрами дифференцирований
Глава 4. О существовании характеристических подгрупп
§ 4.1. Постановка задачи
§ 4.2. Характеристические подгруппы ограниченного индекса
§ 4.3. Характеристические идеалы ограниченной коразмерности
§ 4.4. Характеристические подгруппы ограниченного коранга
§ 4.5. Приложение для почти регулярных автоморфизмов
Глава 5. Группы с автоморфизмом порядка 4
§ 5.1. Постановка задачи
§ 5.2. Конечные 2-группы с автоморфизмом порядка
§ 5.3. Конечные группы с автоморфизмом порядка 4: редукция .... 175 § 5.4. Завершение доказательства теоремы 5
Глава 6. Группы с /-расщепляющим автоморфизмом порядка 4
§ 6.1. Постановка задачи
§ 6.2. Вычисление в свободной разрешимой (<р)-группе, <р
Глава 7. Ранговые аналоги теорем Холла и Бэра
§ 7.1. Постановка задачи
§ 7.2. Доказательство теорем 7.1 и 7
Литература

Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Теория нильпотеитных групп — одна из старейших областей теории групп. В определенном смысле ее начало положено в работе Силова 1872 года [97] (которая также содержит знаменитую теорему Силова), где было доказано, что конечная группа порядка рк обладает центральным рядом с циклическими факторами простого порядка р. Бернсайд в своей книге [40] (1911) показал, что конечная группа обладает центральным рядом тогда и только тогда, когда она является прямым произведением р-групп. В 30-х годах XX века было замечено, что группы, обладающие центральным рядом (позднее они были названы нильпотентными), тесно связаны с линейными группами Ли, чьи алгебры Ли состоят из нильпотент-ных матриц. В группах Ли операции коммутирования соответствует умножение в алгебре Ли, поэтому нильпотентному кольцу, т. е. кольцу, в котором произведение данного числа любых элементов равно нулю
х1...хп = 0,
соответствует группа, которая удовлетворяет тождеству
[...[Х1,Т2] ХП] = 1. (1)
По этой причине термин «нильпотентпая» закрепился и за группами с тождеством (1).
После того, как в 30-х годах понятие абстрактной алгебры Ли выделилось из теории групп Ли в самостоятельный объект, методы колец Ли стали активно применяться для изучения произвольных нильпотеитных групп. Первыми, кто заметил, что на прямой сумме факторов ф"=17г(б?)/71+1 (^) нижнего центрального ряда нильпотентной группы б можно задать структуру кольца Ли
§1.6. Свертка гс-элемептов

превосходит Т{
Уг > 2(Т{ - $) + 5п - 4, $ ^ 4п - 3 и N - 2 > 4гг
полученные коммутаторы удовлетворяют лемме 1.4.11, по которой все они равны 0.
Итак, достаточно рассмотреть упомянутые простые коммутаторы веса ^ 2. Выделяя последний элемент вида (9) в таком простом коммутаторе и обозначая через
о.-] предшествующий начальный отрезок, представим этот простой коммутатор в виде
Если у = 0, то, как было показано выше, этот коммутатор равен нулю, поэтому можно считать, что ] ф 0. В коммутаторе (10) каждый из го по предположению индукции является линейной комбинацией гс-элементов (возможно различных) типов (1;_!... <1?(АГ — 2)), и потому можно каждый из го считать таким гс-эле-ментом. Поскольку число типов (£4_1... ^/(ДГ — 2)) равно (п — 1)' и п-ограничено при п-ограиичепном г, а число Т) можно выбрать > 5,(п — 1)‘, среди элементов го найдется 5, гс-элементов одного и того же типа (я4_1... — 2)). Остальные
элементы го лежат также в Zщ по лемме 1.5.2. По-доказапному для г = 0 они являются линейными комбинациями коммутаторов веса 2 с нулевой суммой ненулевых индексов. Эти коммутаторы можно заморозить в нулевом уровне и считать их элементами вида со, упомянутыми в определении гс-элементов. Их общее количество в каждом коммутаторе полученной линейной комбинации не превосходит Т) — £;. Так как можно выбрать С» ^ Т) — 54, элемент (10) является линейной комбинацией гс-элементов типа (^-т... ^&(1Г — 2)). Это завершает доказательство леммы. □
Определение 1.6.1. Будем называть гс-элементы сложности у, встречающиеся на j-o.Ni шаге в индукционном построении гс-элемента к типа (в4... $к(Н)) сложности г ^ j, гс-элементпами типа ^... «1&(Я)), вложенными в данный гс-элемент Д.
(10)

§ 1.6. Свертка гс-элементов