Строение изотропных редуктивных групп

• Автор: Ставрова, Анастасия Константиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 158 с. : ил.

С одержание
Содержание
Введение
Глава 1. Элементарная подгруппа изотропной группы
1.1. Основные понятия
1.1.1 Проективные модули и полиномиальные отображения
1.1.2 Алгебра распределений групповой схемы
1.1.3 Расщепимые редуктивные группы и оснащения
1.1.4 Редуктивные группы в общем случае
1.2. Градуирующие торы, относительные корпи и корневые подсхемы
1.2.1 Градуирующие торы и параболические подгруппы
1.2.2 Система относительных корней, соответствующая параболической подгруппе
1.2.3 Относительные корневые подсхемы
1.3. Нормальность элементарной подгруппы
1.3.1 Элементарная подгруппа редуктивной группы
1.3.2 Леммы о коммутировании относительных корневых подсхем
1.3.3 Лемма Квиллена—Суслина и доказательство Теоремы
Глава 2. Йордановы системы и изотропные группы
2.1. Йордановы системы
2.1.1 Определение
2.1.2 Алгебраические йордановы системы
2.1.3 Пример неалгебраической йордановой системы
2.1.4 Связь с понятием йордановой пары
2.1.5 Связь с понятиями симплектической тернарной алгебры и тройной системы Фрейденталя

2.2. Построение йордановой системы по изотропной группе
2.2.1 Градуированные алгебры Хопфа
2.2.2 Йорданова система, ассоциированная с редуктивной группой
2.2.3 Действие подгруппы Леви на йордановой системе
2.3. Матричное представление алгебраической йордановой системы
2.3.1 Дифференцирования и автоморфизмы расширенной алгебры Ли
2.3.2 Экспоненты матриц
2.3.3 Матричное представление йордановой системы
2.3.4 Построение изотропной группы в случае поля и следствие для случая кольца
2.4. Квази-обратимость для алгебраической йордановой системы
2.4.1 Квази-обратимыс пары матриц
2.4.2 Квази-обратимость в йордановой системе
2.4.3 Числитель и знаменатель квази-обратного
2.5. Построение изотропной группы по йордановой системе
2.5.1 Построение группового пучка (ДУ)
2.5.2 Схема £(У)
2.5.3 Проективность схемы £(У)
2.5.4 Применение теоремы Демазюра о схемах Бореля
2.5.5 Исключительные случаи
2.5.6 Заключительная лемма
2.6. Теорема 2 об эквивалентности категорий
Список литературы
Приложение А. Доказательства технических лемм
Приложение В. Явные формулы для квази-обратных

В ведение
Теория алгебраических групп является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX в. на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет обширные приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают полупростые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — редуктивные группы.
Классификация полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем была получена К. Шевалле [32]. В 1961 г. Шевалле показал, что все полупростые группы над алгебраически замкнутым полем в действительности определены над Z [33], или, иначе говоря, для любой полупростой алгебраической группы Gc над полем комплексных чисел С существует групповая схема G над Z, называемая схемой Шевалле — Де-мазюра, такая что G получается из нее в результате расширения базы, то есть Gc — G X Spec z Spec С. Другие конструкции этой схемы были предложены М. Демазюром [36] и Б. Костантом [50]. Группы точек схем Шевалле — Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле. Примерами групп Шевалле служат (расщепимые) классические группы матриц SLn(jR), SOri(i?), Sp„(i?); конечные простые группы типа Ли An(q)-G2{q) являются центральными факторами групп Шевалле.
Не все классические матричные группы являются группами Шевалле. Например, группа SO(q) автоморфизмов Rn. сохраняющих негиперболическую квадратичную форму q на Rn, не является группой Шевалле; однако она, как правило, является группой точек некоторой редуктивной групповой схемы. Групповая схема G над коммутативным кольцом Леї называется

Очевидно, А € ФД тогда и только тогда, когда 7г_1(Л) С фЦ и, в частности,
«О,г = ФдГ и ФД'
Заметим, что группа автоморфизмов Г действует перестановками на множестве неприводимых компонент системы Ф. Если это действие является транзитивным, систему относительных корней Ф.дг будем называть неприводимой. Нетрудно видеть, что любая система относительных корней является дизъюнктным объединением неприводимых систем относительных корней — своих неприводимых компонент.
Для любого корня а Е Ф положим
ад = 2 тг(а)аг.
1 <г<1, с*гЕ
Мы будем называть линейную комбинацию а простых корней из Т шаблоном, если существует корень а € Ф А такой, что ад = а. Таким образом, а — корень шаблона ад. Ясно, что значение тт на корне а € Ф совпадает со значением тт на соответствующем шаблоне, тт(а) = тт (од). Если Г — тривиальная группа, то относительные корни находятся в очевидном взаимнооднозначном соответствии с шаблонами относительно ,7.
Лемма 7. Пусть «,/3,7 £ Ф таковы, что а + (3 + 7 является корнем, и среди а, /3, 7 нет противоположных. Тогда по крайней мере две из сумм а; + /?,а + 7, /3 + 7 являются корнями.
Доказательство. Можно считать, что система Ф неприводима. Положим 5 — а+р + 'у. Так как (6, а + Р + /у) = (5, (5) > 0, одно из произведений (<5, а), (д, Р), (д, 7) является положительным, пусть это (5, а). Тогда д — а = Р + 7 является корнем. Далее, если (а, /З + 7) < 0, то одно из произведений (а,/3), (а, 7) тоже отрицательно, а значит, а + р или а + 7 является корнем. Если же (а, р + 7) > 0, то (<5, р + 7) = (а, Р + 7) + (/3 + 7, Р + 7) > 0, откуда одно из произведений (6, Р), (6,7) положительно, то есть 5 — Р или 6 — 7 — корень. □