Компоненты многообразия модулей стабильных двумерных векторных расслоений на P3

• Автор: Ведерников, Валерий Константинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 c. : ил

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

§ I. Предварительные сведения и редукционные

соотношения

§ 2. Серия ^£(С),

§ 3. Серия

§ 4. Геометрия -Мг(^и))к монады

Глава II. СОСТАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

§ 5. Серия ^//-^/1(1)

ЛИТЕРАТУРА

Пусть С - поле комплексных чисел. Векторное расслоение над схемой X конечного типа над С есть локально-свободный когерентный пучок на X. Всюду в дальнейшем будем рассматривать случай

X — Р_. Если Е - векторное расслоение на Р_ и З^ЖР^Е) глоо О О
бальное сечение Е, то 5 определяет отображение °Рз^ Е* Применяя функтор НоЖ*, 0р3) получаем отображение Е''-^ 0р3, образ которого - пучок идеалов 'О в 0рд. Соответствующая замкнутая подсхема У в Р_ называется схемой нулей и обозначается (5)0. Нас будет интересовать информация о схеме модулей расслоений на Рд ранга 2 с дополнительным условием стабильности, или, что эквивалентно, отсутствием глобальных сечений у нормализованного расслоения: ^°(Р3, Е) = О, С^(Е) = 0 или -I. См. [2, 4]
Проблема описания схемы модулей для расслоений даже на простых многообразиях остается открытой. В случае Р® вопрос о существовании схемы модулей для стабильных расслоений ранга 2 был рассмотрен и положительно разрешен Маруямой [гз] . Явное геометрическое описание схемы модулей для стабильных расслоений в первом нетривиальном случае было дано Бартом для С| = 0 и Хулеком [12] для С2 = -I.
В случае Р_, даже при условии, что ранг расслоения 2, кро-ме примеров, демонстрирующих приводимость и несвязность многообразия модулей Мг>(С|, С£), фактов о его структуре общего характера (число компонент, приведенность, рациональность и т.д.) неизвестно.
П.Вевер [ю] и Барт [4] описали случай №>(0, I), причем в N получено точное описание схемы модулей в виде компакта-

фикацией по квадрике Плюккера, соответствующей стабильным когерентным пучкам. Хартпюрн и Стрэмм-Эллинсруд описали, как выглядит схема модулей для стабильных расслоений ранга 2 в случае Ст = О и С£ = 2 и 3. Известно также описание схемы модулей для Ь^(-1,2) вместе с компактификацией, Хартшорн-Солс [э] . К сожалению, методы изучения этих случаев фактически несут информацию о специфике этих конкретных примеров.
Далее, известно, что для достаточно больших й, нуль сечения

Е ( п)) будет в общем случае неособой алгебраической кривой в Р3. Имея определенную информацию о кривых этого класса, т.н. дробно-канонических кривых, можно переносить эту информацию на расслоения с помощью стандартных приемов [б] . К сожалению, проблема классификации кривых в Рд, в частности, выделение инвариантов, разделяющих семейства, находится в весьма неудовлетворительном состоянии - поэтому переход на язык нулей сечений есть только переформулировка проблемы. Однако, используя семейства кривых в Р_, достаточно четко описываемых своей конструкцией, к при-

меру: нули сечений расслоений с описанной схемой модулей, полные пересечения, их неразветвленные накрытия и т.д., можно с успехом выделять в схеме модулей стабильных расслоений на Рд ранга 2 целые неприводимые компоненты. При этом важную роль играет понятие спектра для стабильного расслоения ранга 2 на Рд, введенного Бар-том-Оленсвейгом [в] для С| = 0 и Хартшорном для С| = -I [1]
Предполагая для простоты = 0 (хотя все сказанное ниже дословно переносится на нечетный случай с соответствующими поправками на спектр), напомним, что согласно [в] расслоение Е однозначно определяет последовательность целых чисел - спектр расслоения Е:} 00 свойствами:

редукционную технику [і]? имеем точную последовательность:
О—* (г —> ЕР — н(-к)-^0 (16)
где Н - р(Е) ^ а ц - пучок идеалов нульмерной схемы на//, дающей нелокально-свободные точки рефлексивного пучка Р. Рефлексивный пучок Р имеет характеристические классы С7= С2 -Е+2У Съ~ Р-ь2к+2. Дуальная к (16) точная последовательность имеет вид:
О — £7 —<- НЧІ—• Пользуясь ею, вычисляем,переходя к когомологической последовательности, спектр Р. Спектр Р имеет следующую структуру:
Условие £> / и структура спектра Д7 с помощью рассуждений, аналогичных лемме 15, дают морфизм :
Л- ^2,^2^2)^Р—> р*
и вторую точную редукционную последовательность:
С — Е'(-■/) — Р —* 6«- 4— О <17)
где Р~Р-і(Р]» Поскольку нестабильная плоскость Р— рі(Е)~ содержит нелокально-свободные точки рефлексивного пучка Г , нестабильная плоскость Р и Р совпадают, что дает коммутативность следующей диаграммы:
Мг(0,2к*2)
где Ъ - морфизм редукции. Вычисляя, пользуясь предложением 2,