Компактные линейные группы с факторпространством, гомеоморфным клетке

• Автор: Стырт, Олег Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 54 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Формулировка результатов

§ 1.3. Общие замечания

Глава 2. Вспомогательные факты

§2.1. Локальные свойства

§2.2. Стратификация Луны

Глава 3. Коммутативный случай

§3.1. Вспомогательные факты

§3.2. Базовые примеры . .

§3.3. Системы векторов конечномерного пространства
§ 3.4. Представление с 2-устойчивым множеством весов
§ 3.5. Доказательство основной теоремы
§3.6. Случай одномерной группы
§3.7. «Упрощение» представлений
Глава 4. Представление трёхмерной группы
§4.1. Вспомогательные факты
§ 4.2. Представления трёхмерных групп
§ 4.3. Доказательства основных результатов
§4.4. Разбор частных случаев
Литература

Глава
Введение
§ 1.1. Постановка задачи
Настоящая работа посвящена описанию компактных линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному пространству (клетке).
Поводом к исследованию данной проблемы послужила задача нахождения комплексных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов, подробно изучавшаяся с середины XX века. Первый результат в этой области описывает случай конечной группы и был получен Шепардом и Тоддом [1] и Шевалле [2]. Прежде чем сформулировать его, потребуется дать определение отражения и псевдоотражения.
Определение. Линейный оператор в векторном пространстве над некоторым нолем называется отражением (соотв. псевдоотражением), если подпространство его неподвижных точек имеет коразмерность 1 (соотв. 2).
Теорема 1.1.1 (Шепард—Тодд—Шевалле). Для конечной линейной группы С, действующей в комплексном векторном пространстве V, следующие условия эквивалентны:
1) алгебра инвариантов группы О свободна;
2) группа С? порождена отражениями.
Известно также, что при выполнении условий 1) и 2) теоремы 1.1.1 фактор У/(? является комплексным многообразием, изоморфным V.
Позднее, в 70—80-х гг. XX в., были перечислены линейные группы со свободной алгеброй инвариантов в ряде важных классов групп: в классе связных простых неприводимых групп — В. Г. Кацем, В. Л. Поповым и Э.Б.Вин-бергом [3]; в классе связных простых приводимых групп — О. М. Адамович и Е. О. Головиной [4] и, независимо, Шварцем [5]; в классе связных полупро-стых неприводимых групп — Литтельманом [6].
Подробный обзор результатов на эту тему имеется в [7, §8].
Описание вещественных редуктивных линейных групп со свободной алгеброй инвариантов сводится к комплексному случаю путём перехода к комплек-

сификации представления. Так, для вещественного векторного пространства V и конечной группы G С GL(1/) остаются эквивалентными условия 1) и 2) теоремы 1.1.1, однако из них не следует, что фактор V/G является (вещественным) многообразием, изоморфным У. Дело в том, что над полем R неверна теорема Гильберта о нулях,, и, как следствие, каноническое отображение У SpecM[y]G не сюръективно (неравенства, задающие его образ, найдены в [8]). К примеру, фактор любой конечной группы отражений гомеоморфен (замкнутой) камере Вейля и потому не гомеоморфен векторному пространству, в то время как факторнространство линейной группы {±1Д с GI^M), не содержащей отражений, есть двумерное аффинное пространство.
В связи с этим возникла проблема описания компактных (вещественных) линейных групп с факторпространством, гомеоморфным векторному про-, странству. Рассмотрение только компактных групп обусловлено тем, что их факторпространства хаусдорфовы.
По ряду причин в работе изучаются также другие «хорошие» свойства, которыми могут обладать компактные линейные группы. Для понимания этих свойств й формулировки ранее полученных результатов понадобятся следующие определения.
Определение. Непрерывное отображение гладких многообразий назовём кусочно-гладким, если оно переводит любое относительно компактное гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий.
В частности, всякое гладкое отображение гладких многообразий является кусочно-гладким.
Рассмотрим непрерывное действие компактной топологической группы G на гладком, многообразии М.
Определение-Будем говорить, что фактор действия G: М сильно диф-феоморфен (диффеоморфен) гладкому многообразию М', если топологический фактор М/G гомеоморфен М', причём гомеоморфизм можно построить так, чтобы в соответствии с ним отображение факторизации М —> М' было гладким (кусочно-гладким).
Замечание. Если фактор действия G: М диффеоморфен гладкому многообразию М', то при надлежащем построении гомеоморфизма.топологических пространств М/G и М' отображение факторизации М —► М' переводит любое (необязательно относительно компактное) гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий, поскольку для всякого непрерывного действия компактной группы отображение факторизации собственное [10, гл. I, §3].
Определение. Будем говорить, что фактор действия G: М является гладким многообразием, если он диффеоморфен некоторому гладкому многообразию.

Если Ас1(^) = А, то гк(А — д) = ш(д) ^ 2. Оператор д оставляет на месте все подпространства Ух, действуя на каждом из них, кроме Тф, комплекснолинейно. Далее, имеем У = ф Ух,

гк(А -д) = ^2 &т{(Е - д)УХ) = ^2 2 сИтс((А - д)У) + <Шп((А - сг)И0).

Поэтому среди чисел сИтс((А — д)У.а), А ф 0, и Шт((£ — д)У0) не может быть двух ненулевых. Следовательно, существует не более одной изотипной компоненты У, на которой д не действует тождественно. ■
Теперь докажем теорему 1.2.3.
Предположим, что У/С — гладкое многообразие. Прямое произведение подгрупп С?[кК], IV е Д содержит подгруппу С0, а также множество О: но лемме 3.4.1 каждый элемент из С1 принадлежит некоторому прямому сомножителю. Значит, согласно следствию 3.1.1, указанное прямое произведение совпадает с О. В частности,
О = х б [И^] (3.4.8)
для любого И7- 6 Ь.
Зафиксируем подпространство ¥ £ Ь. В силу утверждения 2.2.1, найдётся вектор V £ IV1, такой что Му с IV. Тогда ЛГ„/Сг„ — гладкое многообразие (теорема 2.1.1). В то же время $и С ТТД Э Иф А,, = П УХ), причём на
втором прямом слагаемом стабилизатор (Д действует тождественно. Отсюда при б сПт (А„ П И'"1) фактор (¥ © Мй) / является гладким многообразием. Кроме того, группа содержит подгруппу (3[У] и, согласно (3.4.8), совпадает с прямым произведением подгрупп С[И7] и Су П С [И7-1], причём последняя тождественно действует на ИЛ Следовательно, (ИЛ ® / О [И7] —
гладкое многообразие.
Тем самым теорема 1.2.3 доказана.
Теорема 3.4.3. Если (йтО = 1 и Ас1(С) = {А1}, то У/С не есть гладкое многообразие.
□ Множество Р имеет одномерную линейную оболочку, поэтому оно неразложимо и нетривиально. Значит, ||Р|| ^ сИт (Р) + 2 = 3, а множество Ь может включать в себя только два подпространства: Уо и У := У^-. В силу теоремы 1.2.3, достаточно доказать, что ни для какого (I фактор (И7" © К*1) / С [И'] не является гладким многообразием. Это, в свою очередь, вытекает из теоремы 3.2.2: группа Л?[Т4Л], содержащая б0, одномерна, действию С\У]: IV соответствует не менее трёх ненулевых весов и ни одного нулевого, а А(] (С[И/]) = - Ас!(С?) = {Е}. Я
Следствие 3.4.3. Если (Пт С = 1 в Ас1(С) = {А}, то ни при каком б фактор {V 0 Жй) / С не является гладким многообразием.