Линейные системы на алгебраических многообразиях

• Автор: Шокуров, Вячеслав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 267 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

§ I. Геометрическая интерпретация теоремы Римана-Роха

§ 2. Теоремы об обращении в нуль

§ 3. Теорема Нетера-Энриквеса

§ 4. Классические и современные теоремы о специальных

линейных системах на кривой

§ 5. Теоремы Мамфорда и Бовиля ъЬъ'пд^

§ 6. Результаты Сейнт-Дона о моделях поверхностей типа

КЗ. ,

§ 7. Теоремы Бертини

ГЛАВА 2. ГЛАДКОСТЬ ОБЩЕГО АНТИКАНОНИЧЕСКОГО ДИВИЗОРА НА

МНОГООБРАЗИИ ФАНО
§ I. Основной результат
§ 2. Вспомогательные леммы
§ 3. Доказательство теоремы в случае
§ 4. Доказательство теоремы при £>2
ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЯМОЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ ФАНО
§ I. Формулировка основного результата
§ 2. План доказательства теоремы 1
§ 3. Леммы о линейных системах на поверхностях
§ 4. Леммы о линейных системах на многообразии Фано
§ 5. Доказательство предложения 2.5.
§ 6. Доказательство предложения 2
§ 7. Доказательство предложения 2.3.
§ 8. Доказательство предложения 2

ГЛАВА 4. ОТЛИЧИЕ ПРИМИАНОВ ОТ ЯКОБИАНОВ
§ I. Ортогональные пучки
§ 2. Поляризация
§ 3. Примианы и многообразия Прима
§ 4. Специальные кривые

§ 6. Суперэллиптические кривые и некоторые кривые
малых родов
§ 7. Доказательство основной теоремы: случай
§ 8. Доказательство основной теоремы: случайр=7,6
§ 9. Доказательство основной теоремы: случай р-5'
§ 10.Некоторые приложения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЗДЕНИЕ
В диссертации изучаются линейные системы на алгебраических многообразиях малой размерности, что приводит к решению нескольких важных проблем алгебраической геометрии.
Пусть X - полное неособое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем Ь . Еще в классической итальянской алгебраической геометрии было введено понятие (полной) линейной системы /А/ как множества эффективных дивизоров линейно эквивалентных некоторому фиксированному дивизору А . Полная линейная системаобладает естественной структурой конечномерного проективного пространства. Собственно под линейной системой или, как еще говорят, линейным рядом понимается произвольное подпространство в Типичным примером этому может служить линейный ряд размерности ^ , состоящий из эффективных дивизоров степени с! на алгебраической кри-
■■■-■■ £
вой; традиционное обозначение для таких линейных рядов
Под дивизором в классическом подходе понималась конечная целочисленная комбинация подмногообразий А ?Х
коразмерности 4 , что сейчас называется дивизором Вейля.
Современная алгебраическая геометрия пользуется сильно модернизированным языком, основы которого заложил А.Гротендик [ю]. Исходным понятием при этом является понятие обратимого пучка сГ"на алгебраическом многообразииуС , которое предполагается ПОЛНЫМ ИЛИ проективным, НС|_уже может иметь особенности. Тогда полная линейная система/и /определяется как множество эффективных дивизоров Картье Л) таких, что их ассоциированный пучок £1Ф) изоморфен у. На этот раз №

образш "V" . Эффективный одномерный цикл frVo-K
будем называть п^чмюй.
Следуя [їй, многообразия Фано с очень обильным антикаяо-ническим классом - К^-будем называть многообразиями Фано основной серии. Для каждого такого многообразия V ангиканоническая
линейная система задает вложение кО ^ •* [/£
где Уап-г - подмногообразие jP$+i степени 2^
называется антиканонической моделью многообразияf ■ • Б случае
многообразия. Фано основной серии прямая имеет свой обычный
геометрический смысл. Она является прямой на антиканонической
модели К , ■
' 2g-2 1 г
1.2. Теорема. Пусть V - многообразие Фано основной серии.
■ " 1 “ “ ' — s/ ■ , і, .к1. м». ."у ,1 s і . >i у » * і*. "» , s.,». ■1 . і» «і > ■■ <»> 'чи >,n
Тогда выполняется ровно одна из следующих альтернатив:
(1.2.1) на ~/~ существует прямая;
(1.2.2) V" еет^ивдекс ^>2 ;
(1.2.3) V"- РРР2.
Из этой теоремы легко вывести следующий критерий существования прямой.
■ - I
1.3. Кригерии_сущесгврванш1_прямой. Пусть V - многообразие
Фано основной серии. На V/ существует прямая тогда и только тогда, когда антиканонический .класс — де суммы двух обильных классов дивизоров.
1.4. Замечания.
(I.4.I) Критерий 1.3 является более слабым утверждением, чем теорема 1.2. Тем не менее из него можно извлечь следующую мораль: препятствие к существованию прямой имеет чисто топологическую природу по крайней мере в случае основного поля А нулевой характеристики.