Алгебраические свойства групп бесконечных матриц

• Автор: Холубовски Вальдемар Марек
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Группы бесконечных матриц

§ 1. Кольцо бесконечных матриц

§ 2. Группы бесконечных матриц

§ 3. Элементарные группы

§ 4. Рост функций

§ 5. Подгруппы определенные ростами

§ 6. Порождение стрингами

ГЛАВА II. Классы промежуточных подгрупп

§ 7. Сети и сетевые подгруппы
§ 8. Подгруппы содержащие клеточно-диагональные матрицы
§ 9. Подгруппы группы треугольных матриц
§ 10. Подгруппы группы Маклейна
§ 11. Группа Вершика—Керова
§ 12. Группы состоящие из стрингов
ГЛАВА III. Свободные подгруппы унитреугольных групп
§ 13. Примеры свободных подгрупп
§ 14. Применение к аппроксимационным свойствам
§ 15. Почти все подгруппы свободны
§ 16. Почти все подполугруппы свободны
ГЛАВА IV. Применения
§ 17. Автоморфизмы свободных групп счетного ранга
§ 18. Автоморфизмы корневого дерева счетной валентности
§ 19. Применения к алгебрам
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики. Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов, в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных.
В теории рядов рассматриваются преобразования последовательностей типа (гп) —> (г'п) — ф((гп)), где г'п — апкк- Преобразование ф задается при помощи бесконечной матрицы а = (ау). Необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование ф переводило любую сходящуюся последовательность в сходящуюся, найдены Кожимой.
Теория Гейзенберга—Дирака в квантовой механике использует решения двух линейных уравнений в бесконечных матрицах:
АХ - ХА = I АХ
(первое уравнение называется уравнением квантования). Для нахождения решений используется теория спектров операторов в гильбертовых пространствах.
Бурное развитие теории линейных пространств бесконечной размерности наступило в начале XX века. Основания были заложены главным образом исследованиями Ивара Фредгольма и Вито Вольтерры. Они рассматривали теорию линейных уравнений с бесконечным числом уравнений и неизвестных с использованием представления в виде предела линейных уравнений с конечным числом уравенений и неизвестных, когда число уравнений и неизвестных становится бесконечным. Это привело к развитию теории интегральных уравнений. С другой стороны, работы Давида Гильберта, Джона фон Неймана, Эрхарда Шмидта и Фригеса Риса по теории интегральных уравнений послужили толчком к развитию теории линейных пространств бесконечной размерности. Это и привело к созданию теории банаховых и гильбертовых пространств.
Алгебраические свойства бесконечных матриц и бесконечномерных линейных или классических групп исследуются во многих статьях и монографиях. Это делается с разных точек зрения, среди которых мы отметим теорию ассоциативных колец и модулей, алгебраическую А-георию, теорию алгебр Ли и алгебраических групп, теорию бесконечных групп, функциональный анализ (кольца операторов, спектральный анализ), элементарный анализ (теория функций, последовательности и ряды), теорию представлений, теорию моделей, бесконечную комбинаторику и теорию вероятностей.

Бесконечные матрицы мы можем складывать как обычные матрицы. Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено. В анализе, где используются комплекснозначные и вещественнозначные бесконечные матрицы эту ситуацию преодолевают наложением на матрицы условий типа сходимости последовательностей коэффициентов в строках и столбцах. В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечно-столбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.
Алгебраический подход к изучению бесконечных матриц начался в 40-вых годах ХХ-того века с работ Р. Бэра, Н. Джекобсона, Дж. Маки, И. Амитцура и других. Сначала они изучали кольцо конечнострочных бесконечных матриц Мг(оо,Д) над кольцом R (кольцо эндоморфизмов левого свободного модуля) и кольцо МГс(°о;Д) конечнострочных и конечностолбцовых бесконечных матриц (кольцо непрерывных эндоморфизмов или кольцо эндоморфизмов with adjoint), которое появилось в исследовании счетномерных алгебр и других колец со свойствами конечности. Итоговая работа Н. Джекобсона о неприводимых модулях показала важность плотных подко-лец кольца Мг(оо, Д), т. е. колец содержащих кольцо М(Д) - состоящее из матриц имеющих только конечное число ненулевых элементов. Такие кольца и называются кольцами бесконечных матриц. Для многих математиков кольца бесконечных матриц служат только примерами патологий в кольцах. В монографии [41] бесконечные матрицы появляются главным образом в качестве контрпримеров. На первый взгляд бесконечные матрицы не имеют никакой обозреваемой структуры, возможно потому, что не удовлетворяют никаким условиям конечности (например, они никогда не являются односторонне нетеровскими). На самом деле в работах многих математиков выявлена их богатая структура. Например, два унитальные кольца R и S Морита эквивалентны тогда и только тогда, когда М(Д) — М(5) М&с(оо, R) ~ МьДоо, S) -ФФ Mrc(oo, R) ~ Mrc(°o, S) -ФФ Mr(oo, R) — Mr(oo, S) (здесь МьДоо, R) обозначает кольцо всех матриц, у которых все ненулевые элементы только в конечном числе столбцов). Кольца Мг(оо, R) и Mrc(°°> S) никогда неизоморфны, существуют кольца R, S такие, что R ~ Мг(оо, R) и S ~ Mrc(°o, S). Для групп Пикара имеем изоморфизмы Pic(R) ~ Ргс(М(Д) Ргс(Мг(оо,R)) [38], [35], [36], [37], [92], [39].
Исследования колец эндоморфизмов естественным образом возбудили интерес и к группам автоморфизов бесконечномерных модулей. Они интенсивно начались изу-чатся в работах Капланского [116], [117], Кадисона [115], Маки [129] и Розенберга [153] 1950-х годов. В громадном количестве работ рассматривались различные группы бес-

Предложение 1. Множества Mr(I,R) и MC{I,R) с матричным сложением и умножением являются ассоциативными кольцами с единицей ej.
Символом Мгс(ЛД) обозначаем пересечение Мг(-)Д) Cl MC(I,R), это полкольцо конечнострочных и конечностолбцовых матриц.
В случае когда I- конечное множество мощности п, все матрицы конечнострочные и конечностолбцовые и мы пишем просто M(n,R) для множества всех пхп матриц, по предыдущему предложению M(n, R) является кольцом.
В случае коммутативного кольца получаем, соответственно алгебру конечнострочных и конечностолбцовых матриц RFA (I, R) и CFA (/, R).
На языке модулей: Мс{1, R) ~ кольцо эндоморфизмов правого модуля R1 (соответственно Мг(/, R) ДЛЯ левого модуля 1R), где I - бесконечное индексное множество.
Если I линейно упорядоченное множество, то матрицу а = («,,) G М(/, R) называем верхней (нижней) треугольной в случае когда из г > j (г < j) следует аг] = 0. Ясно, что диагональная матрица является одновременно и верхней и нижней треугольной.
Легко видеть, что множество ВМ (I, R) всех верхних треугольных матриц из Mc(I, R) является подкольцом кольца MC(I, R), а множество RBM (/, R) всех верхних треугольных матриц из Мr{I,R) является подкольцом в МTC(I,R).
Если I- конечное множество, свойства кольца MC{I,R) не зависят от линейного упорядочения множества I. Но уже в счетном случае I можно упорядочить многими существенно различными способами, поэтому надо осторожно переносить все определения введенные для M(n, R). В нашей работе мы будем в основном рассматривать случай, когда I — N множество натуральных чисел и использовать обозначения вида Mc(oOj R) — MC(N, R). Наш выбор связан с тем, что практически все результаты для бесконечных матриц обычно не зависят от мощности множества индексов. Более того случай I = N является предельным, в том смысле, что для него уже выявляются полностью все особенности и парадоксальные явления для бесконечных матриц.
Сделаем сейчас несколько замечаний показывающих особенности поведения бесконечных матриц.
Известно, что алгебра матриц М(и, К) над полем К имеет универсальное свойство, что любая ассоциативная алгебра А размерности п над К вложима в М(п. К),и любая полугруппа (с единицей) или группа порядка п изоморфная соответсвующей мультипликативной полугруппе или группе матриц из М(щ К) с элементами равными 1 или 0. Это легко вытекает из свойства регулярного представления. Таким