Гомологическая проективная двойственность

• Автор: Кузнецов, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1. Соглашения и обозначения

2. Полуортогональные разложения

3. Исключительные наборы

4. Примеры исключительных наборов и полуортогональных разложений

5. Насыщенность и функторы Серра

6. Когомологическая амплитуда

7. Ядерные функторы

8. Точные декартовы квадраты

9. Производные категории над базой
10. Теорема о строгой замене базы
11. Расщепляющие функторы
Глава 2. Некоммутативные многообразия
1. Подготовка
2. Расширения полуортогональных разложений
3. Полуортогональные разложения для замены базы
4. Независимость от вложения
5. Расслоенные произведения
6. Противоположное многообразие и ядерные функторы
7. Некоммутативная геометрия
Глава 3. Лефшецевы разложения
1. Определение и основные свойства
2. Двойственные лефшецевы разложения
Глава 4. Гомологическая проективная двойственность
1. Универсальное гиперплоское сечение
2. Определение гомологической проективной двойственности
3. Варианты
4. Лефшецево разложение гомологически проективно двойственного многообразия
Глава 5. Производные категории линейных сечений
1. Универсальные семейства линейных сечений
2. Подготовка
3. Индукционные рассуждения
4. Доказательства основных теорем
5. Свойства двойственных многообразий

Глава 6. Примеры
1. Проективизации расслоений
2. Многообразия Веронезе
3. Грассманианы прямых
4- Другие примеры
Список литературы

Введение
Основная цель настоящей работы — изучение производных категорий когерентных пучков на алгебраических многообразиях. В настоящее время эта задача стала весьма актуальной —- во многом в СВЯЗИ с возникшим интересом со стороны физики. Здесь нельзя не упомянуть гипотезу о гомологической зеркальной симметрии, предложенную М.Кондевичем [14], которая предсказывает эквивалентность производной категории когерентных пучков алгебраического многообразия и производной категории Фукай зеркального симплектического многообразия
Изначально, гипотеза зеркальной симметрии была сформулирована для многообразий Калаби-Яу, то есть для многообразий с тривиальным канопическим классом. Затем, было предложено ее обобщение на случай многообразий с обильным и антиобильным каноническим классом. Для таких многообразий зеркальным многообразием является так называемая модель Ландау-Гинзбурга, то есть симплектичсское многообразие с функцией (которая называется суперпотенциалом), гладкие множества уровня которой наследуют симцлектическую структуру. Аналог категории Фукай для модели Ландау-Гинзбурга, так называемая “направленная категория Фукай”, имеет блочно-верхне-треугольную структуру, блоки которой связаны с критическими значениями суперпотенциала. Таким образом, гомологическая зеркальная симметрия для многообразий Фано (многообразий с антиобильпым каноническим классом) предсказывает наличие на их производных категориях блочно-верхне-треуголыюй структуры.
Структуры такого рода на производных категориях алгебраических многообразий и на более общих триангулированных категориях впервые были изучены в работах А.Бондала и Д.Орлова [6, 7] и были названы полуортогональными разложениями. По определению полуортогональное разложение триангулированной категории задается упорядоченным набором ее полных триангулированных подкатегорий (блоков или компонент), таких что нет никаких морфизмов из объектов в компоненте с большим номером в объекты в компоненте с меньшим номером (верхне-треугольная структура), и всякий объект обладает фильтрацией, присоединенные факторы которой содержатся в компонентах разложения.
Простейшие полуортогональные разложения (для них каждая компонента эквивалентна производной категории векторных пространств) получаются из исключительных наборов в производных категориях. Первый пример исключительного набора был получен А.Бейлинсоном [1] при изучении производной категории когерентных пучков на проективном пространстве. Набор на Рп состоит из линейных расслоений 0,0(1)

3. Полуортогональные разложения для замены базы
Пусть X — многообразие над базовой схемой ЗиЛе Т>Ь(Х) -— допустимая 5-линейыая подкатегория, функтор проекции на которую имеет конечную когомологическую размерность, то есть некоммутативное многообразие над Б. Пусть ф :Т —► 5 — замена базы строгая для X и Хт = X Х5Т — расслоенное произведение. Наша цель — построить допустимые подкатегории А, С РрегГ(Хт), Ах С Т>ь(Хт), АС 2?~(Ху) и -4у С 2}сс(Ху), играющие роль категории совершенных комплексов, а также ограниченной когерентной, ограниченной сверху когерентной и неограниченной счетно-когерентной категории на некотором некоммутативном многообразии над Т, которое мы будем считать расслоенным произведением нашего некоммутативного многообразия и Т над Б. Для этого, рассмотрим сразу полуортогональное 5-линейное разложение Т>Ь(Х) = (-Ах
Рассмотрим декартов квадрат
(8) Хт X

Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что этот квадрат точен. В частности, существуют изоморфизмы функторов ф*ф* = ф*/» и ф,ф* = /*ф*,
Начнем с совершенных комплексов. Пусть 2?регГ (X) = (.А1,пгГ
(9) Аг = (ф*АГ* ® /*Ор(Т))®.
Заметим, что подкатегория -Ад. С 2?рсгГ(Ху) является Т-линейной, так как порождающий класс 0*-А?ег? ®/*22регГ(Т) является Т-линейным, а добавление конусов и прямых слагаемых не нарушает Т-линейно сть.
Предложение 2.3.1. Построенные категории образуют Т-линейное полуортогональное разложение 23регГ(Ху) = (АЗТ7... согласованное с функтором ф* : 2?рсгГ(Х) —> 1>ре1*(Ху).
Доказательство: В силу леммы 1.9.5 достаточно проверить, что /« ЯТ1от(ф*Р1®/*07 ф*Р3®ф*0') = О для всех Ь £ Д?егГ, Р3 £ ',сгГ и всех С, С' 6 22рсгГ(Т) при г > у
/, В22от(0*2;- ® /*(?, 0*2-) ® /*6') /,0* КНот{Р,Р3) ® б* ® в' 0*/» В22ош(Л, 2'у) ® б* ® б'
(в первом изоморфизме используется ТО, ЧТО 2;, 2'у, (? иб' — совершенные комплексы, во втором — строгость замены базы ф, а в третьем — Й1-линейность исходного полуортогонального разложения категории /2регГ(X) и лемма 1.9.5 для него).
Остается проверить, что подкатегории .Ад. порождают 2Эрег(Ху). Возьмем произвольный объект Н 6 21,)СгГ(Ху). Приведенная ниже лемма 2.3.2 показывает, что он может быть получен последовательным взятием конусов и прямых слагаемых, начиная с набора объектов 0*2'’г ® /‘б1, где Р* £ 2?регГ(Х), £ 2?рег*(Т) и 2 = 1
Второе утверждение сразу следует из (9). □