Когомологии функторов в категорию групп

• Автор: Басистов, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 c. : ил

Глава I. Некоторые конструкции теории категорий

§ I. Категории: обозначения и примеры

§ 2. Сопряженные функторы

§ 3. Функторы Ext в категории функторов

§ 4. Котройки и когомологии

§ 5. Метод ацикличных моделей

Глава II. Скрещенные произведения

§ I. Абелевы групповые объекты категории (A,Gp)| G . 47 § 2. Скрещенное произведение категорий на функтор . 50 § 3. Двойное скрещенное и тензорное произведения. . 54 § 4. Сопряженные пары, индуцированные естественным

преобразованием

§ 5. Сопряженные пары, определяемые заменой категории

§ 6. Сопряженная пара, связанная с группоидом

Глава III. Когомологии функторов
§ I. Котроечные когомологии
§ 2. Когомологии как абелевы производные функторы . 79 § 3, Свободные функторы, копроизведения и когомологии. уХ
§ 4. Эквивалентность когомологических теорий
§ 5. Замена малой категории
§ 6. Первая группа когомологий и расширения . . . .104 § 7. Когомологии пар группоидов и когомологии
функторов

§ 8. Группы с операторами
Глава IV. Когомологическая размерность
§ I. Определение, примеры
§ 2. Замена малой категории
§ 3. Когомологическая размерность и копроизведения
§ 4. Функторы когомологической размерности 0
Литература

Методы гомологической алгебры в настоящее время широко применяются в различных областях математики« Сйно из важнейших применений состоит в использовании гомологических инвариантов для характеризации внутреннего строения изучаемого объекта. Классическим результатом в этом направлении является известная теорема Столлингса-Суона о том, что группы когомологической размерности 1 свободны [ II ]. Естественное развитие этот результат получил в исследовании гомологических условий, обеспечивающих выделение подгруппы Н группы б свободным сомножителем: С = Н* Г . Например, теорема Уолла-Данвуди [12 ] утверждает, что указанное разложение группы 0 в свободное произведение со свободной группой р имеет место тогда и только тогда, когда ядро эпиморфизма 20® 2 * ~Ц_ , ^ 11—> 1 является проективным модулем
над групповым кольцом 20 С в случае, когда пара групп является конечно порожденной, то есть группа 0 порождена подгруппой Н и конечным множеством элементов) . Большой интерес представляет возможность распространения этих исследований на другие классы алгебраических объектов, для которых имеются теории когомологий, аналогичные классической теории когомологий групп (пары групп [22, 23 ] , группы с операторами [18, 29 ] > подурешетки групп [ 19] и т.п.). При этом естественно рассматривать такую достаточно общую ситуацию, которая включала бы в себя перечисленные объекты как частные случаи. В соответствии с этим в диссертации рассмотрены функторы из малой категории в категорию групп; определены и ис-

этом тлеется
естественный изоморфизм
Доказательство. Положим 0^(й.,^)= р^Д + Г)^0 , где
р:А*У - ядро естественного преобразования V , &(:А1 ^0[ (кОЬА). Тогда изоморфизм групп ее:АШ-У1 определяет изоморфизм соответствующих абелевых групповых объектов категории 101 (1;4.11) и (УХ)0| =0|(А1С)Х}для
любого Х(Д(1,к) .Следовательно, О'АзС-^У -естественное преобразование, определяющее искомый изоморфизм.
1.5. По существу, предложение 1.4. означает, что категория абелевых групповых объектов категории (А ?С[£)|(г эквивалентна категории функторов из категории А в категорию А Ь , удовлетворяющих условию 1.2.а (1;2.3).
§ 2, Скрещенное произведение малой категории на функтор
2.1, Определение. Пусть 0* Д- функтор из малой категории в категорию групп. Скрещенным произведением Д на & назовем категорию с множеством объектов 0Ь&ЗД = 0Ь А,
множеотвами морфизмов (01Д)(1>к)=ОкХА(^,к)и композицией
(д1(&Х)ГЬХХ/),
ХбА(С,к)? Х/(-,Л(гД), $бСгк, ^/<еС-1.
(1,1 [,) является единичным морфизмом объекта А=0кА7
ассоциативность композиции проверяется непосредственно.
Отождествляя каждый Х<с Мог А с (1,)<еМ0ГЛ, будем считать, что А является подкатегорией категории А •
2.2. Предложение. Любой функтор А: А-*АЬ , удовлетво-