Конечные группы с относительно большими централизаторами

• Автор: Аминева, Нажия Нажитовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 82 с.

1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых (всех неабелевых) подгрупп
1.1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых подгрупп
1.2. Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп
2. Группы с относительно большими централизаторами при-марных (непримарных) подгрупп
2.1. Группы с относительно большими централизаторами всех при-марных подгрупп
2.2. Группы с относительно большими централизаторами всех непримарных подгрупп
3. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных (неинвариантных) подгрупп
3.1. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп
3.2. 2-группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
3.3. Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
Список литературы

Одной из основных задач теорпи групп является описание групп с теми или иными ограничениями, наложенными на выделенную систему подгрупп. В качестве такой системы можно рассматривать совокупность централизаторов подмножеств группы. При этом ограничения могут накладываться на отдельные централизаторы, на множество всех централизаторов подгрупп группы или на его достаточно большую часть.
Исследованию групп с ограничениями, наложенными на совокупность централизаторов, посвещено большое число работ. Обзор результатов относящихся к этой тематике можно найти в работах [2, 3, 23].
Мы ограничимся только ограничениями, связанными с величиной централизаторов. Здесь можно выделить несколько направлений.
Группы с большими централизаторами. Локально конечные группы (?, в которых для любого нецентрального элемента х подгруппа С(х) максимальна в <7 описаны в [6].
Целый ряд работ посвящен изучению групп, в которых централизатор любого нецентрального элемента является максимальным централизатором. Такие группы назовем В-группами.
Пусть (7 — произвольная В-группа с локально конечной факторгруппой по центру. Тогда либо (7 является М-группой, т.е. группой с модулярной решеткой централизаторов длины 2, либо фактор-группа (7/Д(С) имеет простую экспоненту [7].
Пусть (7 — конечная р-группа, являющаяся В-группой. Тогда [39]
1) если С(С) ф Z■i{G), то С(С) абелев;
2) если (7 не является М-группой, то С (С) < ZP(G);
3) если х е С(С) 2*(<7), то С(х) > Дь(С), |С(С(х)) : ^((7)| > |(7 : С(х)|*-1, и если у £ С(х), то : С(у) > |С7 : С{х)к~1.
Если х — элемент из В-группы С и у ф С(х), то |С(<7(х)) : ^(<7)| < |£?: С (у) |. Для случая равенства в [39] получены следующие результаты.
Пусть (7 — конечная примарная по числу р В-группа, х £ <7 и у — элемент из О С(х) с наибольшим значением |(7 : С(у). Если С{С{х)) : Z{G) | = |(7 : С (у) | и ступень нильпотентности группы (7 больше двух, то
1) С(х) = С(С(х)) — единственный отличный от С и Z(G) инвариантный в группе <7 централизатор из (7;
2) С(х) = С (С), и фактор-группа (7/С(х) абелева;
3) если t ^ С(х), то |С : СЦ)] = : С(у) и ступень нильпотентности С{1) не превосходит 2;
4) С/Д((7) является Л/-группой;
5) если |С : С(х)| > р, то ступень нильпотентности группы С не превосходит р, и С7/Д((7) — группа экспоненты р.
Особый интерес вызывает исследование В- групп, у которых |(7 : С(х)| = п для любого х € С Д(С) (Б(п)-группы). Несложно доказать, что в этом случае п — рк для некоторого простого числа р.
Пусть С — конечная примарная В(р*)-группа. Тогда для любого нецентрального элемента х из О выполняется неравенство |С(С(х)) : %((*) < Р*- В [8] полностью описаны группы в которых |С(С(х)) : Z{G)| = рк для любого I е б •£(£), а в [39] показано, что если равенство выполняется хотя бы для одного элемента х, то (? нильпотентна ступени два.
Пусть <3 — конечная Б(р*)-группа. Тогда [44]
1) если ступень нильпотентности с группы С больше двух, то ус-1(С) — элементарная абелева группа;
2) если (7 — метабелева группа, то б нильпотентна ступени не выше трех;
3) в группе О в том и только том случае выполняется равенство С = рк, когда С изоклинна полуэкстраспециальной группе.
Условие С 6 В(р), очевидно, равносильно условию ' = р. Полное описание таких групп приведено в [25].
Группы с условием Б(р2) с точностью до изоклинизма описаны в [38].
В работе [40] изучается строение конечных р-групп с условием : С(х)| < рк для любого элемента х 6 (? 2{С1) при к — 2,3. Получен ряд результатов следующего вида.
Пусть р > 2. Тогда указанное условие при к = 3 равносильно одному из следующих условий:
1) |С'|=р3и|<7/Д(С)|<р4;
2)|С'|<р4и|СуД(£)|=р4;
3) С | = р4 и существует такая нормальная в <7 подгруппа N простого порядка р, что С/И : Z(G/N) = р3.
Группы с малыми централизаторами. В конечной неабелевой р-группе (7 всегда найдется такой нецентральный элемент х, что |С(х)| > > ^|С|. В работе [17] исследуются конечные р-группы, в которых |С(х)| < < Р/ для любого нецентрального элемента х. Доказано, что ступень нильпотентности таких групп не превосходит трех. Для групп ступени 3 получено полное описание с точностью до изоклинизма.
Отметим еще работу [32], в которой исследуются конечные р-группы, обладающие таким элементом х, что С(х) = (х).
3.2 2-группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
Пусть О — конечная 2-группа, в которой для любой неинвариантной подгруппы А выполняется условие:
(*): |ЛГ(А): А-С(А) < 2.
Опишем сначала строение такой группы (7 в случаях, когда (7 дву-ступенно нильпотентна или имеет циклический коммутант.
Отметим, что указанное ограничение переносится на подгруппы и фактор-группы. Кроме того, если |(7'| < 4, то в группе (7 условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Это следует из того, что в этом случае |АПС'| < 2 для любой неинвариантной подгруппы А группы О.
Лемма 3.1 Пусть (7 — конечная двуступенно нилъпотентная группа, в которой условие |(7 : А • С(А) < 2 выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Если А — неинвариантная в С циклическая подгруппа, то 10 : С(А)| < 4.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда |[А,(7]| > 8. Пусть [А, С] = Н. Так как А ^ б, то Я ^ А. Обозначим через В максимальную подгруппу группы Я, содержащую Я П А. Подгруппа К = А - В абелева и неинвариантна в С. В то же время
|ЩК) : С(К)| = |[А,О) П К = В > 4,
что противоречит условию (*).
Лемма доказана.
Теорема 3.2 Если С? — конечная двуступенно нилъпотентная 2-группа, в которой условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А, то либо |С"| < 4, либо С и С/.2(£) — элементарные абелевы группы порядка 8.
Доказательство.
Проведем индукцию по порядку группы С7. Пусть С — минимальный контрпример. Предположим, сначала, что С содержит элемент а порядка 8. И пусть у — элемент из (7 наименьшего возможного порядка со