Группы, насыщенные заданными множествами конечных групп

• Автор: Рубашкин, Артем Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 76 с.

1. Используемые результаты

1.1. Элементарные сведения

1.2. Группы с инволюциями

1.3. Сведения о конечных простых неабелевых группах

^ 1.4. Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами

1.5. Свободные группы конечного периода

2. Группы, насыщенные группами диэдра

2.1. Периодические группы, насыщенные группами диэдра

2.2. Периодические группы, насыщенные группами диэдра и имеющие вид

в = НХК
2.3. Существование периодической части в группе Шункова, насыщенной группами диэдра
3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами
3.1. Периодические группы, насыщенные Ь2{рп)
Л 3.2. Группы, насыщенные конечным множеством групп
3.3. Группы Шункова, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

^ В теории бесконечных групп естественным образом выделились направления связанные с различными условиями конечности. Перечислим некоторые из них: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние годы в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различ-ные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [1-3,10,12,13,20,21,24,26,27,29-33,43,44,62]. Примеры Е.С. Голода, А.И. Созутова, A.B. Рожкова [10,34,36,37] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см. монографии [58,59]).
При описании групп Шункова с условием примарной минималь-л ности (А.К. Шлёпкин [64]) анализировался контрпример с заданными
периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп [48].
Группа G насыщена группами из множества групп 94, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G

(возможно совпадающей с К), изоморфной некоторой группе из 94.

Пусть группа G насыщена группами из множества ÜH и для любой X € 93 в G найдется подгруппа L ~ X. В этом случае будем гово-Л* рить, что G насыщена множеством групп 91, а само множество
называть насыщающим множеством групп для G.
Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П.Г. Конторо-вич, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [19,21]. В начале 80-х *’ годов В.В. Беляев [4] и независимо A.B. Боровик, С. Томас, Б. Хартли
и Г. Шют доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Если группа обладает локальным покрытием, содержащим некоторое множество конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а л для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(т,п) для нечетных п [1,2,26,27], насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить приме-> рами групп из [29-32]. Бесконечная локально конечная группа не может

ЛД(Я)/Д конечна и имеет порядок 2. По предложению 7 для некоторого д Е N (уН)у = Ш. Пусть д = дН, тогда очевидно 5| = 51 и лемма доказана.
Лемма 34. Пусть а — инволюция из Д. Тогда Сс{а) — СА(Д где С — бесконечная локально циклическая группа, I — инволюция и с1 = с-1 для любого элемента с Е С*.
Доказательство. Бесконечность группы Са{а) следует из предложения 8 и леммы 7.
Пусть Я — произвольная конечная подгруппа из Сс{а) иД = (а, Я). Имеем В<М<(?иМ~ Ь2(рп), причем В < См(а). Тогда Д = (й)Х(Ь) — группа диэдра. Таким образом, любая конечная подгруппа из Сс(а) вложима в Сс(а) в группу диэдра вида Д)А(£). В силу леммы 16 имеем Св{о) = СА{£), где С локально циклическая группа, причем д = с-1 для любого элемента с ЕС. Лемма доказана.
Лемма 35. Д обладает локально конечной простой подгруппой Ь такой, что Сс(а) < Ь и Ь ~ Ь2(Р), где Р — локально конечное поле характеристики р.
Доказательство. Как следует из леммы 34, Сс{а) представима в виде объединения конечных подгрупп диэдра Д, где
Д<Д<Д<... (3.1)
причем без ограничения общности можно считать, что |Д| > 4 и каждая из подгрупп Д совпадает с централизатором инволюции а в некоторой простой подгруппе Д из Д, Д ~ Ь2{рщ). Таким образом, цепочке
3.1 поставлена в соответствие последовательность Д, Ь2, Д,... конечных простых подгрупп Д ~ Ь2(рп‘) из С.