Орбиты, представления и характеры унипотентных групп.

• Автор: Игнатьев, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 154 с. : 2 ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Максимальные унипотентные подгруппы

групп Шевалле

§1. Основные обозначения

1.1. Группы Шевалле

1.2. Максимальные унипотентные подгруппы

§2. Метод орбит

2.1. Метод орбит для конечных групп

2.2. Примеры коприсоединённых орбит

2.3. Полупрямое разложение и метод Г. Макки

Глава 2. Орбиты, ассоциированные с ортогональными подмножествами систем корней
§3. Общие результаты
3.1. Определения и основная теорема
3.2. Системы корней с простыми связями
3.3. Системы корней с кратными связями
§4. Классические системы корней
4.1. Поляризации для канонических форм
4.2. Формула для размерности
4.3. Размерности неприводимых представлений группы 11(д)

Глава 3. Субрегулярные характеры
унитреугольной группы
§5. Определения и примеры
5.1. Пример: характеры основной серии
5.2. Субрегулярные орбиты
§6. Формула для характеров
6.1. Классы сопряжённости
6.2. Основная теорема: формулировка
6.3. Основная теорема: доказательство
Список литературы

Введение
Одной из самых важных и красивых областей современной алгебры является теория представлений. В начале XX века её роль сводилась к изучению представлений конечных групп и конечномерных ассоциативных алгебр, но постепенно круг проблем, изучаемых теорией представлений, расширялся в связи с задачами анализа, геометрии и физики. В настоящее время теория представлений имеет обширные приложения в теории групп и алгебр Ли, теории алгебраических групп, гармоническом анализе, квантовой механике. По словам Д.П. Желобенко, "масштабы теории представлений уже сопоставимы с масштабами всей математики" [4, с. 6].
Нас будут интересовать представления некоторого класса алгебраических групп над конечными полями. К наиболее изученным в этом контексте относятся конечные группы типа Ли (конечные подгруппы групп Шевалле над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики), см., например, [12], [30]. Ключевую роль здесь играет связанная
с -адическими когомологиями теория характеров Делиня-Лгостига ([31], см. также [50], [51], [52]).
Другой интереснейший класс — конечные унипотентные группы (точнее, максимальные унипотентные подгруппы в группах Шевалле над конечными нолями); именно им и посвящена настоящая работа. Основным инструментов в теории представлений таких групп является созданный A.A. Кирилловым в 1962 г. метод орбит. Ввиду его исключительной важности для наших целей остановимся более подробно на истории вопроса.
Первоначально этот метод использовался для описания неприводимых (бесконечномерных) унитарных представлений вещественных нильпотентных групп Ли в комплексных гильбертовых пространствах. Первые общие результаты о таких представлениях были получены Ж. Диксмье [32]—[37]. Решающим продвижением стала статья Кириллова [13], в которой было показано,

Пусть в ортогональном подмножестве В есть два корня, один из которых сингулярен для другого. Иначе говоря, предположим, что найдутся такие корни ДьЛ € В, что Д0 € Д(Д;х). Обозначим тогда В' — В {/30}, £' = £1,,, /' = € и*; пусть О.' Си* — коприсоединённая орбита /'.
Лемма 3.7. Орбиты €1 и В' совпадают.
Доказательство. Пусть Р = До + а для некоторого а £ Ф+. Тогда квадрат длины корня а равен сумме квадратов длин корней До,Дъ то есть На1|2 ~ I|/?о| |2+11/Зх) |2. Ввиду неприводимости Ф мы заключаем, что в Ф встречаются длинные И короткие корни (а — ДЛИННЫЙ, До, Д1 — короткие), причём квадрат длины длинного корня вдвое больше, чем квадрат дины короткого: 1Н|2 = 211/50112 = 2\р1\2. (Иначе говоря, Ф — это Вп, Сп или АД)
Положим / = ехр(сеа)./' для некоторого с € к*. Тогда для произвольного корня 7 € Ф+, согласно (1.4),
/(ет) = 1ет) ~ с /'(ас1еае7) + с2 /'(ас12ае7)
Достаточно проверить, что если 7+о е В' для каких-то 7 € Ф+, N 1, то N = I и = Ро значит, 7 + Аск = До + си = Р). Действительно, если это верно, то, с одной стороны, До + N0: не содержится в В' ни для какого N 2, Поскольку До В то Г(ер0) — 0, а потому
/(еА>) ~ / (е/?о) с ' / (а(1еаб/з0) = —с / (АДе) = —с АДд,
Значит, при с = — £/?0/(АД/з0 £/?,) значение линейной формы / на векторе ер0 будет равно то есть /(еА) = £йо = /(ед,). ;
С другой стороны, при 7 ф До мы тогда получим, что 7 + ААт не содержится в В' ни для какого АГ 1. Это означает, что

/(е7) = /'(е7) = /(е7)
и для любого 7 ф До. Тем самым, при с = —£д,/(АДд, £/?,) линейные формы / и /' просто совпадут. Но / е В' по построению, так что В = В'.