Структура конечных SR-групп

• Автор: Янишевский, Виталий Валериевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 114 с. : ил.

V.
1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Теоретико-групповые сведения

2.2 Сведения из теории представлений

2.2.1 Начальные сведения

2.2.2 Характеры неразрешимых групп

2.2.3 Индуцированные характеры

2.2.4 Теория Клиффорда

2.2.5 Характеры знакопеременной группы Ап

2.3 Оценки классового числа

2.4 Сведения о простых неабелевых группах
2.4.1 Некоторые изоморфизмы простых неабелевых групп
2.4.2 Общие сведения о к{Ь), Ои1(1»), БЬ;,
2.4.3 Группы Ьп(д), £/„( 2.4.4 Группы Вп(д), Сп{д), где п
2.4.5 Характеры групп РСЬ2{д) (д нечетно) и £а(д) (д четно)
2.4.6 Спорадические группы
2.5 Теоретико-числовые сведения
3 Вещественные группы
3.1 Предварительные замечания
3.2 Результаты Берггрена о вещественных группах
3.3 Свойства вещественных 2-групп
3.4 Вещественные группы с абелевой подгруппой индекса
4 Некоторые классы БЛ-групп
4.1 Предварительные замечания
4.2 БЛ-группы с абелевой подгруппой индекса
4.3 Описание БЛ-групп малых порядков
4.4 Сверхразрешимые БЛ-группы порядков 2крп, 1 ^ к
4.5 БЛ-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой
4.5.1 Теорема редукции
4.5.2 Особенные БЛ-группы
4.6 БЛ-группы порядка 2прт с диэдралыюй 2-силовской подгруппой
4.6.1 Теорема редукции
4.6.2 Атомарные БЛ-группы
4.6.3 Пример БЛ-группы с неабелевой р-силовской подгруппой
5 Разрешимость конечных АБЛ-групп
5.1 Предварительные обсуждения
5.2 Простые неабелевы АБЛ-группы
5.3 Минимальный контрпример к теореме 5.1
5.4 Редукция
5.4.1 Знакопеременные группы
5.4.2 Спорадические простые группы
5.4.3 Исключительные простые группы лиева типа
5.4.4 Классические простые группы лиева типа
5.5 Характеры и нормальные подгруппы
5.6 Характеры группы PGL2( 5.7 Доказательство теорем 5.1.2 и 5.1
6 Приложение. Вычисления в системе GAP
6.1 Описание GAP и основные команды
6.2 Некоторые специальные функции
6.3 Некоторые вычисления из теоремы 4.6
6.4 Некоторые вычисления из леммы 5.4
6.5 SR-группы порядка 2", где 1^п<9
6.5.1 Предварительные замечания
6.5.2 SR-групны порядка
6.5.3 SR-группы порядка
6.5.4 SR-группы порядка
6.5.5 SR-группы порядка 16
6.5.6 SR-группы порядка 32
6.5.7 SR-группы порядка 64
6.5.8 SR-группы порядка
6.5.9 SR-группы порядка
6.5.10 SR-группы порядка
6.6 SR-группы порядка 2п ■ 3, где 1^п^7
6.6.1 SR-группы порядка
6.6.2 SR-группы порядка 12
6.6.3 SR-грунпы порядка 24
6.6.4 SR-группы порядка 48
6.6.5 SR-группы порядка 96
6.6.6 SR-группы порядка
6.6.7 SR-группы порядка
6.7 Несверхразрешимые SR-группы G с |(7| ^ 2000 и Z(G) = 1
6.8 Примеры ASR-групп отличных от SR-групп
7 Заключение
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

1. ВВЕДЕНИЕ

1 Введение
Постановка задачи и актуальность темы диссертации
Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.
gSG g€G
Здесь |М| — мощность множества М, ^/д = {ж € G х2 = д}, Св{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.
Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Вигнера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в (10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики.
В книге [2], стр. 250-251, А. И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом:
Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?
В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94):
Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы?
В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ
'От английского “simply reducible’, то есть “просто приводимыми!'.
"Нобелевская премия но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, “За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии”. Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета:
4.6. ЭЛ-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой

вычитая из |<3) = 2Ік+Ірт число уже найденных элементом.
Таблица 19. Порядки централизаторов элементов (3 = (Е х Е2) х Т>2р»»
расположение у Є С число таких д 1 С0{д)
1 1 2ік+1рт
{в ^ <3 | д ~ д' Є Е(Б)} (22к - Т)рт
У#{дєСд~д' Є г (Б)} 2ік _ - 1)рт - 1 24*
деао' 2 ікрт <^2к+ї
{д Є <3* і о{д) 2} 2*к[рт — 1) рт
Сумма квадратов порядков централизаторов элементов равна:
IСв{д)2 = 1 •' (24к+1рт)2 + (22к - 1)рт • (24к+1)2 + 24крт ■ (:22к+1)Ч

+ (24к - (22к - 1)рт - 1) ■ (24*)2 + 24к(рт - 1) • (рт)2 (16)
Приравняем выражения (15) и (16). Сделаем замену 2к = рт — 1. После всех необходимых преобразований будем иметь:
рт{рт - 2)2{рт + 1)
Очевидно, что последнее равенство не может иметь место ни при каком р > 2, то ^ 1. Таким образом, <3 = (Д х Е2) х В2рт = {Е2ы х Е22к) х Д2рт не является БЛ-группой. □
4.6 Э11-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой
• 4.6.1 Теорема редукции
Определение 4.6.1. Пусть группа С изоморфна группе вида V х Е^, где V = Ерш — минимальная нормальная подгруппа группы (3, причем Д<3) = 1, р > 2, п ^ 3, 7П1. Такую группу мы будем называть атомарной группой.
Теперь можно сформулировать главный результат параграфа:
Теорема 4.6.2. Пусть (3 — конечная несверхразрешимая БК-группа порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой. Если Ф((3) = 1, то либо (3 = Ер2 х ІД+і
— атомарная БК-группа, р = 2Ч — 1 — простое число Мерсенна, либо (3 = Д.
Доказательство этой теоремы разбивается на несколько лемм. Сначала мы установим, что либо С = Д, либо (3 является 2-нильпотентной. Далее, в случае 2-нильпотентности, доказывается существование у БЛ-группы (3 атомарной факторгруппы. В лемме 4.6.4 доказывается, что атомарная группа Ерт х £>2» является несверхразрешимой БЛ-группой если и только если т — 2, п = д+1, где р = 2я
— простое число Мерсенна. В лемме 4.6.5 доказывается, что группа (Д хЕ2) х Д2п, где Д х Д2п ~ Е2 х Д2" — изоморфные атомарные БЛ-группы, не является БЛ-группой. Таким образом минимального контрпримера к утверждению теоремы не существует, что завершает ее доказательство.