Комбинаторная структура группы вибрациональных преобразований плоскости

• Автор: Гизатуллин, Марат Харисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 154 c. : ил

С ОДЕ РЖАНИЕ

Предисловие
План работы

§0. Обозначения и соглашения

§1. Стягиваемые кривые

§2. Исключительные и базисные множества

§3. Граф г, (VI

§4. Рёбра и треугольники графа

§5. Множества де Жонкьера

§6. Граф

§7. Связность графа (V]

§8. Односвязность комплекса A(V)
§9. Односвязность комплексаР
§10. Определяющие соотношения для кремоновой
группы
§11. Комплекс 0 и представление кремоновой
группы в виде факторгруппы амальгамированной суммы '
Литература
Указатель обозначений
Предметный указатель

ПРЗДИСЛОВИЕ
Исследования бирациональных преобразований плоскости были начаты в 1863 году итальянским геометром и инженером Луиджи Кремоной £[830-1903; см.Г10], стр. III), в честь которого совокупность С!т всех таких преобразований называют кремоновой группой плоскости . В начальный период этих исследований изучались отдельные преобразования из группы , а в 1869 году английский математик Уильям Клиффорд поставил вопрос о её образующих, точнее, он предположил, что группа бирациональных преобразований комплексной плоскости порождается проективными и квадратичными преобразованиями. В 1870 году немецкий геометр Макс Нётер объявил о наличии у него доказательства этого утверждения, называемого с тех пор теоремой Нётера, и в следующем , 1871 году^он опубликовал доказательство, правда, недостаточно полное. Строгое же, по общему мнению, доказательство теоремы Нётера дал итальянец Гвидо Кастельнуово в 1901 году (^подробно история этой теоремы изложена в м). Современному алгебраисту ясно, что, установив образующие группы, следует описать связывающие их определяющие соотношения. Но постановка вопроса о задании абстрактной группы посредством образующих и соотношений прояснилась лишь в начале нашего века, хотя одна из основных по этому вопросу работ, статья В.Дика, опубликована в 1882 году £см.
С М], §34^. Алгебраисты и топологи, занимавшиеся связанным с отмеченным вопросом кругом проблем (т.е. тем, что теперь называют комбинаторной теорией групп^ , долгое время имели дело лишь с конечно представленными группами, или, во всяком случае, с группами более простыми, чем кремонова. Правда, в процессе их деятельности возникли конструкции, пригодные и для описания сложных групп, например, введённое 0. Щрайером в 1926 г. свободное про-

изведение с объединённой подгруппой (иначе говоря, амальгамированная сумма) , а также предложенное в 1969 г. Х.Баесом и Ж.-П. •Серром обобщение амальгамированной суммы - фундаментальная группа графа групп (см. [13]). Использование таких конструкций для описания сравнительно сложных (бесконечномерных, например) групп преобразований алгебраических многообразий началось в 1966г., когда И.Р.Шафаревич в работе С171 установил, что группа автоморфизмов аффинной плоскости А: ^ над полем
изоморфна амальгамированной сумме А*Т группы А
(А ПТ
т.е. задаваемых формулами
где ЧЬЧ*, 0* , ^ ^ ^ £ к, ^ £, - с,я е±фо)
с группой Т так называемых треугольных преобразований, определяемых формулами
х'^аэс+с, у'= %+/(«),
где с*, С е & , ^ с , /сх) £ ^ гасЗ
Позже автор и В.И.Данилов (см. £183)обобщили этот результат, представив группу автоморфизмов квазиоднородной аффинной поверхности в виде фундаментальной группы подходящего графа групп.
В конце шестидесятых годов и в семидесятых годах появляются комбинаторные описания нетривиальных групп бирациональных преобразований некоторых алгебраических многообразий. Так, Ю.Й.Манин в 1969 г. установил образующие и соотношения для группы бирациональных преобразований минимальной кубической поверхности над совершенным полем (см. £2^) , а В.А.Псковских получил аналогичные результаты для некоторых трёхмерных многообразий Фано (см.
•50предыдущему, поверхность А/ц^ од изоморфна А^
Морфизму £: р* V отвечает вложение рёберно-взвешенных
графов £*1: ГДУ) П^С^У, переводящее базис:
в базис ^ ( (Ю^ (В ( V4) .
Пример: (V* ) - ° ° , е*С°, 1, £]г.
4.4. Замечания. Если ввести расстояние между базисами 1Ь , ми СВСУ) формулой
/(1Ь, М) =^°^СР*М0) ( = (4.4.0)
то в Г,(У) соседями будут те и только те вершины, расстояние между которыми минимально возможное ( т.е. равное 1). Для обоснования корректности (4.4.о) надо доказать, что
4.4.1: из (Ь0*Мо) = 1 следует (Ь= 1М1;
4.4.2: для [Ь, м,м«$(У) выполнено неравенство
(с точки зрения замечания 2.22, утверждение 4.4.1 означает, что кремоновы преобразования степени I проективны, а 4.4.2 -что степень композиции преобразований не превосходит произведения степеней составляющих эту композицию преобразований.^) Доказательство 4.4.1. Здесь достаточно из а.*м.)=х вывести Ь0= М 0 , так как, согласно 2.15, 1~а однозначно
определяет (Ь . Пусть (см.2.17) Мр ~ к,0 - .
йз(МЯ=1 ДМ0*/~„)“1- и из 2.17.2 следует а -1 ,
- 0 при всех Д. из (Ь , Т.е. Мо — /-с
Доказательство 4.4.2. В выражениях И Л/0 через
- 1~с~«М'-г<*мм, К~ен0--2€МН,
где ^ - сумма по , имеем ( ибо С/^ -(М-/-Д
подвижна), £щ ^ О , откуда
0‘Ю -27^^ <■<*£ = (1~0’ М0)( М*'К )