Радикалы решеточно упорядоченных колец

• Автор: Шавгулидзе, Наталия Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание

1 Предварительные сведения об /-кольцах

1.1 Определение и свойства решеточно упорядоченных колец

1.2 /-гомоморфизм

1.3 /-идеал

1.4 Теоремы об изоморфизме

1.5 Пересечение и сумма /-идеалов

1.6 /-идеал, порожденный подмножеством

2 /-первичный и /-полупервичный правые /-идеалы

2.1 Правый /-первичный /-идеал

2.2 Правый /-полупервичный /-идеал

3 Радикал /-кольца
3.1 Радикал /-кольца и односторонние /-идеалы
3.2 /-Аннулятор
3.3 Специальный класс /-колец
4 Примеры специальных радикалов
4.1 Класс /-первичных /-колец
4.2 Класс /-колец без положительных делителей нуля
5 Радикалы и /-модули
5.1 Специальный класс/-модулей
5.2 Связь со специальным классом /-колец

Введение
Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе [8] А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [4] подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.
Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.
Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [17]), которая говорит о том, что радикал идеала кольца Я является идеалом кольца Я.
В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича (см. [5]) радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержащемуся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотент-ный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.
В работе В. А. Андрунакиевича [1] из класса наднильпотентных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича [2] появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.
В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [3] показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца А представляется в виде пересечения аннулято-ров Р-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.
Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на реше-точно упорядоченные кольца (7-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.

М. А. Шаталова в работе [15] вводит понятия /-первичного и /-полупервич-ного /-идеала решеточно упорядоченного кольца (/-кольца) и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М'. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: М-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой.
В работе [16] М. А. Шаталова вводит понятие специального класса реше-точно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. М. А. Шаталова показывает, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых/-колец с /-идемпотентной сердцевиной.
А. В. Михалев и М. А. Шаталова в работе [10] изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /-кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /-идеалов и со множеством всех строго /-нильпотентных элементов. В работах
А. В. Михалева и М. А. Шаталовой [11] и [12] содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.
Представляет интерес дальнейшее развитие теории радикалов в классе /-колец, что приводит к необходимости решения следующих задач:
1) Получить характеризацию радикалов в классе /-колец с помощью односторонних /-идеалов. В связи с этим изучить свойства односторонних/-идеалов.
2) Охарактеризовать специальные радикалы с помощью односторонних /-идеалов.
3) Изучить свойства решеточно упорядоченных модулей и получить характеризацию специальных радикалов с помощью аинуляторов решеточно упорядоченных модулей.
Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано, что наднильпотентный радикал /-кольца равен пересечению всех /-полупервичных правых /-идеалов /-кольца, таких что факторкольцо по

То есть односторонние /-идеалы могут быть заменены двусторонними. Доказательство. Так как идеал кольца является правым идеалом, то нам нужно доказать только то, что из условия (1)' следует (1).
Пусть выполнено условие (1)' и А, В — правые /-идеалы /-кольца R, такие что AB С р и А% Р.
Заметим, что двусторонний /-идеал < А >, порожденный правым /-идеалом А в /-кольце R, имеет вид < А >— А + М, где
М — (х £ R |æ| < га, r £ R+, а £ А+}.
Действительно, пусть a, b £ А + М, тогда а = а! -|- х, Ь — У -h у для некоторых а', У £ А, х,у £ R, таких что х < Гхах, у < r2a2, П)П £ R+, ai,a2 £ А+. Тогда а±Ъ = а' ±У + х ±у, причем а!±Ъ' £ А {—У £ А, потому что — У = |/>'|) и из п.10 предложения 1.1.1 получаем:
х±у< |т| + |у| < riöi + г2а2 < (г 1 + r2)(ûi + а2).
Так как ri + г2 6 R+, а+ а2 £ А+, то х ± у £ М, то есть а ± b £ А + М.
Для любого г £ Rar = a'r + xr, причем а! г £ А, так как А — правый /-идеал.
Так как xr < |^||r| < riOi|r| (п.10 предл. 1.1.1) и ai|r| £ А+, то аг £ А + М. Из п.10 предл. 1.1.1 получаем:
|га| = га! + гх < |га;| + гх < |г||о/| + |г||ж| <
< |г||о/| + |г|пеи < (|г| + [г|г1)(|а,| + оД,
Так как |r| + |r|ri £ R+, |а'| + ах £ А+, то га £ А + М.
Пусть г £ R+, г < |а|. Тогда г < а' + х < |а'| + |х| < а' + га. Так как га > 0, то из леммы 1.5.1 следует, что г = х + у для некоторых х,у £ R+, х < а', у <га. Из х < |а;| следует, что х £ А, так как А — правый /-идеал в R. Из доказательства леммы 1.5.1 следует, что
у — г — (г А |а;|) = ГхОх - [(пах) А (|а'1 + riat - г)]. Следовательно, из п. 10 предложения 1.1.1 получаем:
у < riai - [(rioi) А (|о'| + rxai - г)]| <
< |ггах| + |(гхОх) А (|о/| + Га - г) <
< |гхах| + (|гхах| А ||а'| + Гхах - г|) <
< |no.i| + Inoil < |n|K| + |n||ai| = 2|гх||ах|.
Так как 2|rx| £ R~|-, |ох| £ то у £ Ad.