Группы преобразований кривых

• Автор: Рогозинников, Евгений Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Кривые на многообразиях. Группы движений и подобий кривых на многообразиях
1.1. Обобщенные многообразия и кривые на обобщенных многообразиях
1.1.1. Кривые в метрических пространствах
1.1.2. Обобщенные многообразия. Основные понятия и определения
1.1.3. Кривые на нормированных обобщенных многообразиях
и их группы подобий
1.1.4. Кривые с блочно транзитивной группой подобий
1.1.5. Кривые с транзитивной группой подобий
1.1.6. Связь ориентированных подобий и подобий образа кривой
1.2. Кривые на гладких многообразиях и в аффинных пространствах
1.2.1. Основные понятия и определения
1.2.2. Подобия гладких многообразий
1.2.3. Подобия кривых на гладких многообразиях
1.2.4. Кривые с транзитивной группой подобий в аффинных
пространствах
1.2.5. Замкнутость кривой в аффинном пространстве в терминах ее группы подобий
1.2.6. Свойства класса групп движений кривых на многообразиях
Глава 2. Кривые и их обобщения. Группы преобразований кривых и определяемость кривой своей группой преобразований.
2.1. Модели и отображения абелевых групп в модели
2.1.1. Основные понятия и определения
2.1.2. Подмодели. Построение модели по заданному семейству
преобразований

2.1.3. Отображения абелевых групп в модели
2.1.4. Строение групп внутренних ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели
2.1.5. Расслоенные модели
2.1.6. Обобщенно расслоенные модели
2.1.7. Произведение метрических пространств
2.2. Определяемость кривой своей группой преобразований
2.2.1. Построение отображения абелевой группы в модель по заданной группе автоморфизмов
2.2.2. Основные понятия и определения теории кривых в топологических пространствах
2.2.3. Построение кривой по заданной группе гомеоморфизмов
Библиография
Введение
Хорошо известно, что множества возможных состояний различных эволюционирующих систем (механических систем, физических объектов, организационных структур и сетей) можно рассматривать как гладкие многообразия [15], называемые конфигурационными многообразиями изучаемых систем [8]. Непрерывная эволюция рассматриваемой системы, т. е. множество ее реальных последовательных состояний, представляет собой траекторию точки на конфигурационном многообразии, т. е. кривую вдоль этого многообразия. Понятие траектории развития системы, первоначально возникшее в физике, распространено в [47] на случай эволюционного развития произвольных организационных сетей.
С математической точки зрения кривые на различного рода геометрических объектах (в аффинных пространствах, в топологических пространствах, на гладких многообразиях) являются классическим объектом исследований [ 1,38,45]. Широко рассматривавшиеся ранее в математической литературе группы преобразований геометрических объектов (гомеоморфизмов, движений, подобий и т. п.) являются важнейшими и классическими производными структурами, в терминах которых осуществляется классификация геометрических объектов и проводится исследование их различных свойств [40].
Идея такой классификации была высказана Феликсом Клейном на его выступлении в 1872 году в Эрлангенском университете и получила название эрлангенской программы [40]. Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было чрезвычайно велико. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, которые для старых инструментов были крайне затруднительны или вовсе недостижимы. Подход Клейна оказался применимым к самым абстрактным геометриям - многомерным, неевклидовым и т.д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике. Герман Минковский в 1905 году включил в схему Клейна теорию относительности, показав, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Аналогичный подход понадобился в теории элемен-

Полная группа ориентированных подобий такой кривой содержит отрицательные подобия с коэффициентом г, например, таким подобием является отражение относительно изотропоной прямой у = х. Этот факт не противоречит следствию 1.3, так как кривая а не является регулярной, поскольку, в частности, в точке (1/%/2,1/л/2) ее норма обращается в нуль.
Следующая теорема описывает связь между нормами и матрицами кривизн кривых, связанных преобразованием подобия.
Теорема 1.6. Пусть а: I —>• АД — т-регулярная кривая (для некоторого т) с матрицей кривизн со, f — подобие многообразий Мх и М2 с коэффициентом к и (3(t) = f(a(t)) для всех tel. Пусть к — матрица кривизн кривой (3, тогда n((3(t)) = к ■ n(a(t)) и н(Ь) = co(t)/k.
Доказательство. Утверждение для норм следует непосредственно из определения подобия. Докажем утверждение для матриц кривизн.
Зафиксируем точку tQ е /, тогда кривая а удовлетворяет следующей системе уравнений Френе:
Vte(t) = à(t)£(t)u(t);
^ £{to) — £0;
à(t) = à(t)Êi(t)-, a(to) = «o-
Здесь e(t) = (Êr(t),..., Êk(tŸ) — строка, состоящая из векторов репера Френе кривой а в момент t.
Рассмотрим теперь кривую /3. Поскольку она получается из кривой а в ходе преобразования /, имеем /3(t) = dfa^(à(t)). Далее, по лемме 1.14 имеем:
Пф(t) = Vt(dfait)(à(t))) = dfa{t) (ptà(t)).
Продолжая по индукции, получаем:
Vf3(t) = dfa(t) ('Dà(t)) для всех i 6 1, к — 1.