Кольцо когомологий Хохшильда алгебры Мёбиуса

• Автор: Пустовых, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 169 с. : ил.

Содержание
Содержание
Введение
Глава 1. Формулировка основного результата
1.1. Предварительные сведения
1.2. Структура кольца когомологий для п >
1.3. Структура кольца когомологий для п
Глава 2. Бимодульная резольвента
2.1. Описание бимодульной резольвенты
2.2. Модули из проективной резольвенты
2.3. Скрученные бимодули
2.4. Периодичность бимодульной резольвенты
Глава 3. Аддитивная структура алгебры НН*(Д)
3.1. Описание аддитивной структуры
3.2. Размерности групп гомоморфизмов
3.3. Размерности групп кограниц
3.4. Размерности групп когомологий. Случай п >
3.5. Размерности групп когомологий. Случай п
Глава 4. Образующие алгебры НН*(Д)
4.1. Описание образующих алгебры НН*(7?)
4.2. Лемма о соотношениях в группе ННв1(Д)
4.3. Доказательство того, что введенные элементы являются образу-
ющими алгебры НН*(Д)
Глава 5. Г2-сдвиги образующих алгебры НН*(Д)
5.1. Случай (1)

5.2. Случай (2)
5.3. Случай (3)
5.4. Случай (4)
5.5. Случай (5)
5.6. Случай (6)
Глава 6. Произведения в НН*(Д)
6.1. Произведения элементов, которые равны нулю
6.2. Произведения элементов, которые не равны нулю
Список литературы
Приложение. Доказательство точности начального отрезка бимодульной резольвенты

Введение
Настоящая диссертация посвящена изучению структуры кольца когомологий Хохшильда для одной из серий алгебр типа Ап. а именно для алгебр Мёбиуса.
Напомним, что стабильный АД-колчан произвольной самоинъективной алгебры над алгебраически замкнутым полем, имеющей конечный тип представления, описывается с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое совпадает с одной из схем Дынкина Ап, В„, Е&, Д? или Дв (см. [35]). Более подробно, стабильная часть АД-колчана есть дизъюнктное объединение колчанов вида 24В/П, где ЪВ - один из колчанов ZАп, ЪВп, 2Д7, %Е8, а П - некоторая допустимая группа автоморфизмов колчана 2Д. Исходя из описания стабильной части АД-колчана в [36] доказано, что любая алгебра типа Ап стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъективной алгебре, либо алгебре Мёбиуса. Поскольку для самоинъективных алгебр конечного типа представления стабильная эквивалентность совпадает с производной (см. [27]), а кольцо когомологий Хохшильда инвариантно относительно производной эквивалентности, мы можем использовать классификацию [36] для описания кольца когомологий алгебр типа Ап. Для полуцепных самоинъективных алгебр описание кольца когомологий Хохшильда получено в [29]. Таким образом, данная диссертация является завершающим этапом в исследовании колец когомологий Хохшильда, для алгебр типа Ап.
Определение кольца когомологий Хохшильда возникло ещё в 40-х годах прошлого века (см. [28]). Пусть Д - конечномерная алгебра над полем К, Л = Д ®к Дор - её обёртывающая алгебра, ННП(Д) = Ёх(Д(Д. Д) - п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры Д (с коэффициентами в Д-бимодулс

(4) если т + it — пр, г = 2t — 2, то
dim]{Im<5s — <
п — 1, £ + р : 2, : 2;
п — 1, £ + р : 2, char К = 2;
п, £ + р : 2, £ '/. 2, char К ф 2;
2n{t — 1) + п — 1, £ + р / 2, £-2;
2n(£ — 1) + п — 1, £ + р / 2, char К — 2
2n(t — 1) + п, £ + р / 2, £ / 2, char К ф 2.
Обозначение. Для а Є Ж, гг Є N через (а)„ обозначим наименьший неотрицательный вычет а по модулю п (в частности, 0 (а)п тг — 1).
Лемма 18. Пусть А - (п х п)-матрица над полем К {здесь для единообразия нумерация строк и столбцов матрицы начинается с 0), в которой элементы Ац имеют вид:
где <%i равно 1 или — 1.
Пусть а - остаток от деления па 2 количества щ, равных 1. Тогда ранг матрицы А равен п— 1, если char К = 2, или n—1 + a, если char К ф 2.
Доказательство. Чтобы вычислить ранг матрицы А, приведём её к верхнетреугольному виду. Сначала перенесём первую строчку на (п — 1)-ое место. Получим, что ранг матрицы А равен рангу матрицы:
Далее прибавим к последней строчке нулевую, домноженную на — ад- Полу-
1 * — (j 1)„;
Aij = О в остальных случаях,
/ 1 ах 0 ... О
О 1 «2 ... О