Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей

• Автор: Сецинская, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 81 с.

1 Описание класса степенных рядов, определяемых произведениями классических Г-функций Дирихле
1.1 Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость
1.2 Граничные свойства степенных рядов, отвечающих конечным произведениям классических Г-функций Дирихле
1.3 К вопросу аналитического продолжения степенных рядов, отвечающих произведению пс менее двух Г-фупкций Дирихле
1.4 Класс степенных рядов ЮГ Аналог теоремы Адамара для степенных рядов класса ЯЛ
2 Задача о разложении в произведение Г-функций числовых полей
2.1 Задача разложения Г-функций в произведение
2.1.1 Разложение I! произведение Г-функции Дирихле в абелевом случае
2.1.2 Разложение Г-функций в произведение в случае нор-мсииых характеров
2.2 Задача описания нормсниых характеров
2.3 Композит полей и норменные характеры
3 Связь задачи о граничном поведении степенных рядов с теоретико-числовыми задачами
3.1 Задача Ю.В. Линннка о целостности скалярного произведения двух Г-функций Дирихле
3.2 Граничное поведение степенных рядов и оценки некоторых арифметических сумм
Заключение
Литература

Актуальность темы. В данной работе исследуется следующая задача. Пусть к — числовое ноле конечной степени, у — характер этого поля

— 1 /
Л'(и) V-
"(«)•
S = <т + it, (1)
соответствующая L-функция поля к.
Рассмотрим степенной ряд, определяемый L-функцией (1), то есть степенной ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1)

g(-) = J2anZ"-

Работа посвящена изучению поведения степенного ряда (2) на границе сходимости, а именно, изучению радиальных производных вида
lim g(nretlfi), 0 < tp < 2л, п = 0,1,... (3)
г —>1
Замечание 1. В диссертации результаты, в направлении решения этой задачи, получены в случае характеров Дирихле, по в заключении указана актуальность данной задачи и намечены пути ее решения в случае числовых характеров Гскке.
Данная задача представляет интерес в связи с тем, что граничное поведение степенных рядов вида (3) позволяет, в свою очередь, судить об аналитических свойствах рядов Дирихле, которые так или иначе определяются L-функциями числовых полей, а это, в свою очередь, позволяет решать отдельные теоретико-числовые задачи, встречающиеся в теории L-функций.
Впервые эти задачи изучались в работах В.Н. Кузнецова [10,17,19,21]. Там же В.Н. Кузнецов назвал метод изучения аналитических свойств рядов Дирихле, представляющих интерес в теории /-функции, с помощью изучения граничных свойств соответствующих степенных рядов, методом редукции к степенным рядам. В работе [10] была получена новая аналитическая характеристика классических L-функцнй Дирихле в классе рядов
Дирихле с конечнозначными характерами. А именно, было показано, что н этом классе классические L-фуикции определяются как мероморфные функции f(s) с единственно возможным простым ПОЛЮСОМ В точке 5=1 и со следующим услонием роста модуля идола отрицательной действительной оси:
/(-<т)(1 - а) < с • еаЫа+м при - а < -сг0 < 0, (4)
где А — положительная константа.
При доказательстве этого результата существенным моментом явилось доказательство того факта, что в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами условие аналитического продолжения в комплексную плоскость как мероморфной функции с единственно возможным простым полюсом в точке s = 1 и условием (4) равносильно условию регулярности соответствующего степенного ряда д(л) в точке 2 = 1.
В работах [17,21] метод редукции к степенным рядам получил дальнейшее развитие. Здесь рассматривалась задача аналитического продолжения рядов Дирихле вида
f(s) = '}2—4- s — а + it. (5)

В частности, было показано, что ряд Дирихле вида (5) тогда и только тогда продолжим целым образом на комплексную плоскость, когда соответствующий ему степенной ряд g(z) имеет конечные радиальные производные в точке 2=1, то есть существуют конечные пределы вида
lim д("х), и = 0,1
:с—»1
Замечание 2. Идея использования поведения степенного ряда g(z) в окрестности точки 2 = 1 для аналитического продолжения ряда Дирихле /(s) восходит к G.H. Hardy [2]. Н.Г. Чудаков [39,40] указывал на возможность применения этого подхода в вопросах, связанных с периодичностью коэффициентов ряда Дирихле. Но в этих работах рассматривался случай регулярности степенного ряда g(z) в окрестности точки 2 = 1 и не исследовался вопрос о том, как свойство аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость влияет на поведение соответствующего степенного ряда в окрестности точки 2=1. Такая взаимосвязь между рядами Дирихле и соответствующими степенными рядами в общем случае (то есть без предположения регулярности g(z) в точке 2 = 1) впервые была изучена в работах В.Н. Кузнецова [17,21].

где I — порядок фактор группы (7/Я.
Относительно индуцированного характера справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.1. Для любых а 6 С имеет место следующее разложение
х(о) = л 1 (сг) + ... + у/(ст),
где у,- ~ различные продолжения характера у с подгруппы Я на группу <7.
Доказательство Для доказатслЕ>ства этой леммы нужно показать, что
Д-у(сг), если сг € Я, если сг Ф Я.
5--И;
Так как все у,- являются продолжениями характера у, то V сг € Я Уг(сг) = у(сг). таким образом первая часть равенства (2.1) установлена.
Пусть теперь а Я, тогда существует такой характер у() группы <7, что уо(сг) ф 1 и V сг) 6 Я уо(сг1) = 1. Ясно, что когда у,- пробегает множество всех продолжений характера у па группу С, то у0у* также пробегает это множество.
В этом случае получаем, что
I I I
= Хо(сг)Е^(о-)-1=1 1=1 2
Из этого равенства следует, что
(1 - хоИ) • = °-

то есть либо ^ у,(сг) = 0, либо хо(а) — 1- Из выбора характера уо следует,
1=I

Е^и = °>

что и доказывает лемму 2.1.
Приведем еще одно утверждение, которое необходимо для доказательства основной теоремы этого пункта.