Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними

• Автор: Зиновьев, Егор Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 61 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Основные свойства колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними

§1. Кольца псевдоалгебраических чисел

§2. Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгебраических чисел

2 Некоторые классы модулей над кольцами псевдоалгебраических чисел

§3. Делимые и инъективные Д-модули

§4. Приведенные Д-модули

§5. Конечно порожденные проективные Д-модули

§6. Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми

условиями типа конечности
§7. Категория Ж
Литература

Список обозначений
ф, П ~~ прямая сумма и прямое произведение модулей или колец
Епфя(А) — кольцо эндоморфизмов Я-модуля А
Ногпд(Д В) — группа Д-гомоморфизмов из модуля А в модуль В
(М)* — сервантная оболочка множества М в группе
Т — некоторое поле алгебраических чисел
<0> — поле рациональных чисел
N — множество натуральных чисел
р — некоторое простое число
— кольцо вычетов по модулю рк, к £ N
Ър — кольцо целых р-адических чисел

Лр — КОЛЬЦО Ър, либо КОЛЬЦО Ърк 1д — единица кольца Я
С — включение множеств (не обязательно строгое)
С — строгое включение множеств

Введение
Актуальность темы. Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П.А. Крылова, A.B. Михалева, A.A. Туганбаева [6].
В последние годы появилось значительное число работ, посвященных смешанным абелевым группам. И по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.
Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс
Я, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G
таких, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению
класса Я посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22].
В работе [19] A.A. Фомин для изучения групп из класса Я вводит
кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссь, что группы из класса
Я — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное
утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Коль-
цом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в Д Ър такое,

что R — (1, 0Zр)*, где р пробегает все простые числа [9].

Модуль М над произвольным кольцом Я называется конечно представимым, если существует точная последовательность
где п е N. а К — конечно порожден.
Предложение 4.6. Приведенный Я-модуль А с сНт= п является конечно представимым в точности тогда, когда существует идемпотент е & Я такой, что
(1 - е)А = (1 - е)Яп.
Доказательство. Если А — конечно представимый Я-модуль, то в точной последовательности
С — конечная прямая сумма циклических Яр-модулей. Тогда можно

представить С в виде С — 0 Сро где к е N. Сш — ещС. Введем

идемпотент е = еР1 Ч 1- еРк. Имеем Яп = (1 — £)Яп ® еЯп, С с еЯп и
/3|(1_е)д» — мономорфизм. Кроме того, /3(( 1—е)Яп) — (1— е)А. Отсюда, (1 - е)А = (1 - е)Яп.
Обратно. Пусть существует идемпотент в е Я такой, что (1 — е)А = (1 — е)Яп. Тогда в последовательности
О -* С -+ (1 - е)Яп © еЯп —» (1 - е)А © еА -» О
модуль С есть прямая сумма конечного числа циклических Яр-модулей (ввиду С С еЯп). □