Тела частных, идеалы и представления квантовых и пуассоновых алгебр

• Автор: Панов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 251 с.

Глава 0. Общее введение

§0.1. Общая характеристика работы

§0.2 Основное содержание работы

Глава 1. Тела частных алгебр скрученных многочленов §1.1. Элементарные преобразования целочисленных кососимметрических 20 матриц.

§1.2. Алгебра скрученных многочленов

Глава 2. Тела частных квантовых разрешимых алгебр §2.1. Расширения Оре и локализация

§2.2. Квантовые разрешимые алгебры

§2.3. Чисто квантовые алгебры

§2.4. Элементы конечного присоединённого действия

§2.5. Тела частных

§2.6. Приложения

Глава 3. Первичные идеалы в квантовых разрешимых алгебрах §3.1. Дополнительные условия
§3.2. Первичные идеалы
§3.3. Стратификация спектра
Глава 4. Идеалы квантовых разрешимых алгебр в корнях из 1 §4.1. Квантовые порядки
§4.2. Расширения Оре в корнях из 1
§4.3. Первичные Р-инвариантные идеалы
§4.4. О пуассоновых алгебрах
§4.5. Представления в корнях из 1
Глава 5. Нормальные квантовые разрешимые алгебры
§5.1. NQS-алгебры и FA-элементы
§5.2. Стратификация идеалов в NQR-алгебрах
§5.3. Неприводимые представления NQR-алгебр
§5.4. О числе неприводимых представлений
Глава 6. Квантовые матрицы
§6.1. Точное описание тела частных Mat9(n)
§6.2. Образующие тела частных алгебры MptQ]C(m, п)
§6.3. Центр тела частных MpiQc(m,7i)
§6.4. Тело частных алгебры квантовых треугольных матриц
Глава 7. Тела частных алгебр, допускающих Ц5(з12(С))-действие

Глава 8. Квантовые алгебраические торы
Глава 9. Расширения Оре алгебр Хопфа
§9.1 Основная теорема
§9.2. Классификация расширений Хопфа-Оре
Глава 10. Локальная структура многомерных скобок Пуассона §10.0 Введение
§10.1 Основная теорема
§10.2 п-Скобки Склянина
Глава 11. Неприводимые представления алгебр Ли над полем положительной характеристики
§11.0. Введение
§11.1. Неприводимые представления вЦп)
§11.2. Неприводимые представления максимальной размерности алгебры Ли
вЦп) и особые точки многообразия центра
§11.3. Неприводимые представления максимальной размерности полупростых 239 алгебр Ли
Список литературы

Глава 0. Общее введение
§0.1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. Квантовые алгебры возникли в работах по математической физике как деформации алгебры регулярных функций С[G] на группе Ли и ее универсальной обёртывающей алгебры Д(д). С алгебраической точки зрения в результате квантования С-алгебры R получается С-алгебра Rq, которая является свободным модулем над кольцом многочленов Лорана C[q, g-1] такая , что исходная алгебра получается из неё редукцией R = Rq mod (q — 1). Если R является алгеброй Хопфа, то и её квантование Rq естественно также искать в классе алгебр Хопфа. Наиболее известными квантовыми алгебрами являются квантовая универсальная обёртывающая алгебра Uq(g) для полупростой алгебры Ли д, её двойственная алгебра Cg[G], алгебра квантовых матриц, квантовая алгебра Вейля. Число примеров можно расширить, если рассмотреть подалгебры этих алгебр, многопараметрические версии этих алгебр, квантовые пространства представлений.
Ставится задача описания центра этих алгебр, первичного и примитивного спектра, тела частных. Представляет интерес как явное описание структуры конкретных квантовых алгебр, так и построения общей теории в духе метода орбит.
Квантовые алгебры связаны с пуассоновыми алгебрами. Если исходная алгебра коммутативная, то её квантование Rq индуцирует пуассонову структуру на R. Если известно описание функций Казимира, классификация сим-плектических листов для пуассоновой алгебры R, то это облегчает задачу изучения центра, классификации примитивных идеалов Rq. Теория пуас-сонового дубля, развитая в работах М.А.Семенова-Тян-Шанского [34], позволяет дать описание симплектических листов для групповой скобки Пуассона на полупростой группе Ли G и её борелевской подгруппе. Это дало толчок к работам по структуре алгебры Cg[G] и квантовой универсальной обёртывающей алгебры для максимальной разрешимой подалгебры в д. Задача описания примитивного спектра приводит к рассмотрению специализаций Re = R mod (q — є). Для случая є — не корень из 1 решение этой задачи изложено в книге А.Жозефа [80]. Случаю є — корень из 1 посвящены работы К.Де Кончини, К.Прочези, В.Каца, В.Любашенко, К.Брауна [50, 56, 57, 58, 59, 60, 61].
Рассмотрение этих примеров позволило выдвинуть ряд гипотез, кото-

Условие С£4. Я— чистая С-алгебра (см. §2.3).
Напомним, что это означает, что множество 6, состоящее из Е := Кег(е) таких, что алгебра Яе — область и является конечным модулем над своим центром, плотно в Зрес(С') в топологии Зарисского. Заметим, что для квантовой разрешимой алгебры Я алгебры являются областями. Поэтому Я 6 © тогда и только тогда, когда Яе — конечный модуль над своим центром.
В §2.2 были приведены основные примеры квантовых разрешимых алгебр (см. Примеры 2.2.3-2.2.9). В этом параграфе мы снова пересмотрим примеры 2.2.3-2.2.8 и покажем , что для них выполнены условия 01-<34. Мы видели, что в главе 2, что для этих алгебр выполнены Условия С) 1 и С)4. Покажем, что, если матрица <0> выбрана так, что Го группа без кручения, то Г также группа без кручения (т.е выполнено Условие 0,2). В каждом из примеров мы показываем, что выполнено Условие (^3.
Пример 1. Алгебра скрученных многочленов AQ порождается х хм с соотношениями Х{Х] = qijXjXi. Рассмотрим естественную фильтрацию Я = Ям Э Ям-1 Э ... Э Яь в которой Яг порождается х т*. По определению Т{(Х]) = qijXj для г < j. Поскольку £г = 0, то полагаем qi = 1- В нашем случае Гд = Г. Продолжим тг до автоморфизма по формуле
т.(х _ ( зчл- если *<.?’;
X], если г >
Пример 2. Квантовые матрицы.
Рассмотрим коммутативную С-алгебру
С = €[^1,с±1 : г < ;].
Пусть Я, <5 6 Ма(п(С*) две матрицы такие, что рг^у = с8дп^~г —
qijqji = Ра = qii = 1. Алгебра квантовых матриц Мр^,с(п) порождается над С образующими {ац}"г=1 с соотношениями, указанными в 2.2.4.
Обозначим Т(г_1)п+г = ац и пусть Ят подалгебра, порождённая х^, j
1 т. Рассмотрим фильтрацию:
Я = Я„2 О .. • О Ях Э Я0 = С.
Алгебра Мрд21С(п) является квантовой разрешимой алгеброй по отношению к этой фильтрации и чистой С-алгеброй (см. 2.2.4). Подкольцо Я*, к = (£— 1 )п + г является расширением Оре Як = Я&_1[ац; 7ц, <5«], гдетц автоморфизм Як-1 и 8ц является ггг-дифференцированием Як-1 причем 8цТц = с~1тц5ц. Группа Г порождается Го и с±1. Так как с - переменная и Г0 без кручения,