Квадратичные характеры в проблеме распределения целых точек в шаре

• Автор: Архипова, Людмила Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Сферические суммы в проблеме шара

1.1 Вывод "сглаженной"формулы для числа целых точек в шаре

1.2 Кратное применение формулы суммирования Пуассона

Глава 2. Суммы, скрученные с квадратичным характером

2.1 Представление сферических через суммы, скрученные с символом Якоби

2.2 Выделение основного промежутка изменения параметров в гибридных суммах

2.3 Применение формулы обращения Виноградова - Корпута

2.4 Специальное представление гибридной суммы

2.5 Оценка суммы Т(М, К)

2.6 Применение метода экспоненциальных пар
2.7 Оценка гибридной суммы по современной экспоненциальной паре
2.8 Выбор значения целевого параметра
2.9 Анализ полученных оценок
Глава 3. О некоторых приложениях гибридных сумм
3.1 Новое неравенство типа Вейля - Корпута
3.2 Новое доказательство закона взаимности

Список литературы
Введение
Квадратичный характер — это функция целого аргумента, периодическая по некоторому натуральному числу га, квадрат которой равен 1 для всех чисел, взаимно простых с га, и равен нулю в противном случае. Еще предполагается, что эта функция мультипликативна, то есть ее значение для произведения целых аргументов, взаимно простых между собой, равно произведению значений. Исследования по применению квадратичных характеров в теории чисел ведутся на протяжении более двухсот лет, начиная с работ Л. Эйлера, К.Ф. Гаусса и Ж.Л. Лагранжа. В настоящей диссертации исследуются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами, скрученными с квадратичным характером. Другими словами, рассматриваются тригонометрические суммы, каждое слагаемое которых представляет собой произведение квадратичного характера на экспоненту от некоторой комплекснозначной функции. В качестве квадратичного характера мы рассматриваем символ Якоби или его частный случай — символ Лежандра.
Основная цель диссертации состоит в выводе новых форм остаточного члена в проблеме шара, выраженных через сферические тригонометрические суммы, а также суммы, скрученные с квадратичным характером, и получении новых равномерных оценок сферических сумм.
Проблемой шара называют задачу о выводе асимптотической формулы для Т{а) — числа узлов трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри шара растущего радиуса а с центром в начале координат, а также возможно более точной оценке остаточного члена Я,(а) данной асимптотики.
Далее сумму Т(Ы, К) мы будем оценивать в зависимости от значения параметров N и К.
Договоримся также, что тригонометрические суммы, скрученные с символом Якоби, мы для краткости будем называть гибридными суммами. Таковой, в частности, является сумма Т(К).