Абелевы Р-группы и автоустойчивость относительно оракула

• Автор: Душенин, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение

0.1 Описание проблематики

0.2 Обзор результатов диссертации

1 Предварительные сведения

1.1 Теория групп

1.2 Вычислимость

2 Нередуцированные группы конечного типа

3 Нередуцированные группы типа 1.

4 Нередуцированные группы типа 2 и 3.

Литература

Введение
Диссертация посвящена исследованию тьюринговых степеней автоустойчивости абелевых р-групп. Эта задача является одной из многих других, изучаемых в теории конструктивных моделей, которая, в свою очередь, берет начало с работ А.И. Мальцева ([15], [16]) и М. Рабина ([37]) середины прошлого века и с тех пор активно развивается, благодаря трудам множества математиков со всего мира. Этому разделу математической логики, а также тесно связанной с ним теории вычислимости, посвящено очень большое количество литературы, но в качестве особенно важных и современных источников стоит выделить [6], [30] и [41].
0.1 Описание проблематики
Объектом исследования в диссертации являются конструктивизируемые аддитивные абелевы р-группы и тьюринговы степени их автоустойчивости. Известно, что аддитивная абелева группа представляется в виде прямой суммы редуцированной и полной подгрупп. Любая полная аддитивная абелева р-группа является прямой суммой конечного или бесконечного числа квазициклических групп (или групп типа р°°). Что касается редуцированных абелевых р-групп, то еще в 1933-м году Ульмом был получен известный результат о том, что редуцированные р-группы одинакового типа т, все соответствующие факторы

которых изоморфны, сами являются изоморфными. Этот результат говорит о том, что любая редуцированная р-группа с точностью до изоморфизма определяется своими факторами. Эти и многие другие известные результаты теории групп можно найти в [13]. Позднее для некоторых видов редуцированных р-групп были предложены иные, более удобные, подходы к доказательству теоремы Ульма. Например, в [39] вводятся понятия р-базисных деревьев, которые ассоциируются с абелевыми р-группами и делают интуитивное понимание их структуры куда более доступным.
Вопрос о конструктивизируемости и сильной конструктивизируемости заданной модели является одним из самых важных и интересных в теории конструктивных моделей. Так Ю.Л. Ершов в [10] доказал теорему о ядре, с помощью которой можно переносить конструктивизации алгебры на ее замыкания,
Н.Г. Хисамиев в [22] получил результат о том, что любая счетная модель сщ-категоричной теории сильно конструктивизируема, а С.С. Гончаровым в [1] и М.Г. Перетятькиным в [19] независимо найдены критерии сильной конструктивизируемости однородных моделей. Что касается классических классов алгебраических структур, то этому вопросу также посвящена целая серия работ. Например, А.И. Мальцевым в [16] были описаны конструктивизируемые абелевы группы без кручения ранга 1. Также М. Рабином в [37] была доказана сильная конструктивизируемость счетного алгебраически замкнутого поля, A.C. Морозовым ([17]) получено, что счетные насыщенные булевы алгебры сильно конструктивизируемы, а Дж. Мидом в [36] установлено, что любая счетная простая булева алгебра сильно конструктивизируема.
В.П. Добрица в [8] и А.Т. Нуртазин в [18] также доказали, что конструктивизируемые абелевы группы обладают конструктивизацией с рекурсивно перечислимым базисом.

между индексами факторов Нг конструктивен, а нулевой фактор Н0 группы С - сильно конструктивизируем. Тогда группа С -сильно конструктивизируема.
Также в [9] можно найти необходимое условие конструктивизируемости для любой счетной абелевой р-группы.
Теорема 20 (Добрида, Нуртазин, Хисамиев[9]). Если редуцированная абелева р-группа С является X-конструктивизируемой, то ее улъмов тип - X-конструктивный ординал.
Необходимо также выделить критерий сильной конструктивизируемости абелевых р-групп из [25], основанный на определяющих соотношениях и системе порождающих элементов.
Теорема 21 (Хисамиев[25]). Для сильной
конструктивизируемости р-группы С необходимо и достаточно, чтобы С была задана порождающими аг, с]п, i < а, ] < (3, п € ш и определяющими соотношениями рп'аг = 0, рсдо = О, рс]п+1 = с}п - ь1п, Ь]п = т0а0 + ... + тГ]г1аГ]П, где а, Р € ш + 1, порядок Ь]П < рп+2 и функции п(г) = пг, /(_?', та) = [то,тГ;„] и множество М = {{т, з)|3г1...3г5(г1 < ... < г5&пг, = ... = пгв = т)} рекурсивны.
В качестве применения этой теоремы можно указать следующий критерий.
Теорема 22 (Хисамиев[25]). Пусть полная часть р-группы С имеет конечный ранг. Тогда группа С сильно конструктивизируема в том и только в том случае, когда ее редуцированная часть Я. сильно конструктивизируема.
Теперь сформулируем некоторые известные результаты,
связанные с существованием конструктивизаций групп без кручения.