Картеровы подгруппы конечных групп

• Автор: Вдовин, Евгений Петрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 117 с. : ил.

1 Введение

§ 1 Общая характеристика результатов работы

§2 Обозначения и результаты из теории групп

§3 Линейные алгебраические группы

§4 Строение конечных групп лиева типа

§5 Известные результаты

2 Критерий сопряжённости картеровых подгрупп

§1 Краткий обзор результатов главы

§2 Предварительные результаты

§3 Доказательство теоремы 2.1

§4 Некоторые свойства картеровых подгрупп

3 Сопряжённость в конечных простых группах
§1 Краткий обзор результатов главы
§2 Предварительные результаты
§3 Почти простые группы
4 Картеровы подгруппы классических групп
§1 Краткий обзор результатов главы
§2 Обозначения и предварительные результаты
§3 Доказательство теоремы 4.1
5 Полулинейные группы лиева типа
§1 Основные определения
§2 Перенос основных результатов
§3 Картеровы подгруппы специального вида
6 Картеровы подгруппы в полулинейных группах
§1 Краткий обзор результатов главы
§2 Картеровы подгруппы симплектических групп
§3 Группы с автоморфизмом тройственности
§4 Классификационная теорема
§5 Картеровы с унипотентным радикалом
§6 Картеровы без унипотентного радикала
§7 Картеровы подгруппы конечных групп сопряжены
7 Критерий существования
§1 Краткий обзор результатов главы
§2 Критерий
§3 Пример
§4 Классификация картеровых подгрупп
Указатель терминов
Предметный указатель
Литература
Глава 1. Введение
В настоящей главе мы кратко охарактеризуем общие результаты работы, а также напомним основные определения и теоремы, используемые в дальнейшем.
§1 Общая характеристика результатов работы
Напомним, что подгруппа конечной группы называется картеровой подгруппой, если она нильпотентна и самонормализуема. Ввиду хорошо известного результата Р. Картера, любая конечная разрешимая группа содержит в точности один сопряжённый класс картеровых подгрупп (см. [10]). Если не предполагать, что группа конечна, то картеровы подгруппы могут быть даже неизоморфными. Действительно, если АД, N2 — две неизоморфные нильпо-тентные группы, то они являются картеровыми подгруппами в своём свободном произведении. С другой стороны, конечная неразрешимая группа может не содержать картеровых подгрупп минимальным примером является знакопеременная группа степени 5. Однако, до сих пор неизвестно ни одной конечной группы, содержащей несопряжённые картеровы подгруппы и известна восходящая к Р. Картеру проблема.
Проблема. Сопряжены ли картеровы подгруппы конечных групп?
Изучению данной проблемы для различных классов конечных групп близких простым посвящено много работ различных авторов. В симметрических и знакопеременных группах картеровы подгруппы классифицировали Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини (см. [22]). В любой такой группе С, что ЭЬДД < О < ОЕДД. картеровы подгруппы классифицировали Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини, и, в случае О = ОЕДД, Н. А. Вавилов (см. [23] и [2] соответственно). Для симплектических групп Бр2п(Д, полных унитарных групп ОИДД и, когда д нечётно, полных ортогональных групп 00~(д) классификация картеровых подгрупп была получена Л. Ди Мартино, А. Е. Залесским
ГЛАВА 4. КАРТЕРОВЫ ПОДГРУППЫ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

К.2 является нормализатором силовской р2-подгруппы Р2 группы КД(у)
(р2 простое) либо, что К^21(д) разрешима. Тогда д — д2 = 2 в ортогональном случае ид 1 = ^2 = 2 + 1 в унитарном случае.
Доказательство, (а) Утверждение очевидно, поскольку Д,т) является симплектической, унитарной или ортогональной в соответствии с тем, какой тип имеет группа Сщ(д, Т, т).
(б) Очевидно, каждая К{ является подгруппой группы Сщг.(д). Более того, поскольку К нильпотентна и самонормализуема, мы получаем:
Мы хотим показать, что Щ самонормализуема в (ДДд). Пусть, для простоты обозначений г = 1 и положим Е М^ДК}). По определению Д, данному в формулировке, существует такой х Е К, что с1ей(л:д) — с1е<,(/?,1). Пусть у € К2 х • • • х Кк таков, что
скольку он является изометрией по отношению к Д. Очевидно, К нормализует К х • • • х следовательно, нормализует К. Отсюда следует, что Н Е К. и мы заключаем, что к £ К.
(в) С'Д (д) — нормальная подгруппа группы СД1(д). Значит, мы имеем Р — Р П (^(д), где Р является силовской ^-подгруппой группы СДД^д). Напомним, что отображение переводит нормализатор силовской щ-груп-пы (ДдДд) на нормализатор силовской /д-подгруппы в её образе (7Р(д)*. Таким образом, существует такой х Е М^-г^ДРД, что | бей(0:1)| равен
в ортогональном случае и д + 1 в унитарном случае. Из Р — Р П (д), следует, что РД = Ри значит, (К^^ДРДД1 = N^^1) т. е. К'Д = Кх. Если К2 — нормализатор подгруппы Р2, те же рассуждения показывают, что существует такой х2 £ СЧДД(д), что бей(гсг) = бе^жг) и К22 = К2. Таким образом, матрица blockdiag (ад, хД1,/П_П1_„2) лежит в бщ(д) < бщ(д) и нормализует К. Отсюда следует, что х Е К, х2 Е К2, и наше утверждение верно в этом случае. Теперь предположим, что С<1г~1(д) разрешима
К = (К1х ••• х^)П^(?).
Следовательно, матрица
имеет тот же определитель, что и матрица д. Таким образом, }ь Е бД(д)