О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышных множествах

• Автор: Ахунжанов, Ренат Камилевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Перечень условных обозначений

Содержание работы

ГЛАВА 1. ОБ АНОРМАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И СУБЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ

1.1. О лакунарных и сублакунарных последовательностях

1.2. О метрических результатах

1.3. Новые результаты об анормальных числах

и лакунарных последовательностях

1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных

последовательностях

1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных

последовательностях

1.6. О хаусдорфовой размерности
1.7. О выигрышных множествах
1.8. О вложении непересекающихся арифметических
прогрессий в натуральный ряд
1.9. Доказательство теорем 1.1 и 1
1.10. Доказательство теорем 1.3 и 1
1.11. Доказательство утверждений из параграфа 1
ГЛАВА 2. О ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫХ ЧИСЛАХ
2.1. О результатах Дж. Касселса, Г. Давенпорта и В. Шмидта
2.2. Формулировки новых результатов
2.3. Вспомогательные результаты
2.4. Доказательство теоремы 2
ГЛАВА 3. О ВЕКТОРАХ ЗАДАННОГО ДИОФАНТОВА ТИПА
3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации
3.2. Формулировки и результаты
3.3. Лучи и цилиндры
3.4. Вспомогательные утверждения
3.5. Специальная последовательность цилиндров
3.6. Доказательство теоремы 3
Список литературы
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N — множество натуральных чисел
No — множество натуральных чисел с нулем
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел
R — множество действительных чисел
11 • 11 — расстояние до ближайшего целого
{•} — дробная доля числа
[•] — ближайшее целое сверху
[-J — ближайшее целое снизу
Ах В - декартово произведение множеств А и В
НОД(а1 ап) — наибольший общий делитель целых чисел
Ol, . . . , йп
С„ - биномиальные коэффициенты
(tn)%L 1 — последовательность действительных чисел t, t2, ■ •. ,tn ■.. к — обозначение max{3, к}
/(ж) ~ д(х) — существует предел lim
х—>оо 9х)
/(х) ж д(х) — существуют положительные константы Р и Р2, такие что Pig(x)^f(x)^P2g{x)
ХА(х) ~~ характеристическая функция множества А HD (А) — хаусдорфова размерность множества А ND((f„)^=1) — множество действительных чисел а, таких что последовательность дробных долей {tna} п=1,2,... не всюду плотна на отрезке [0,1]

Глава 3. О векторах заданного диофантова
типа
§3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации.
Пусть <д(у) — некоторая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Напомним, что натуральное число р называется совместным (^-приближением к вектору а=(а1 схДеМ8, если
шах ||раД= гаах шш |ра—у|< В работе [18] Дж. Касселсом доказано, что существует константа С$, зависящая только от размерности з такая, что найдется континуальное семейство векторов аеМ®, не допускающих ни одного совместного <д-приближения с функцией <д(у)=Сву“1^. В дальнейшем этот результат обобщался и усиливался в работах Г. Давенпорта и В. Шмидта (см. книгу [14]).
С другой стороны, в работах [25], [26] В. Ярником установлен следующий результат. Пусть <р{у)у1^ убывает при у—> оо, а А (у)—>0 при у—>оо. Тогда найдется континуальное семейство векторов аЕМя допускающих бесконечно много совместных (^-приближений, но не допускающих более чем конечного числа (дА-приближений.
В статье [9] было доказано, что если <р(у)—0(у~1/3), у—»оо, то найдется континуальное семейство векторов абЕ5, допускающих бесконечно много совместных (^-приближений, но не допускающих ни одного совместного сг^-приближсния с некоторой очень маленькой положительной константой стя<1. Отметим, что значение константы а3 из процитированной теоремы работы [9] можно сделать существенно лучше,