Квантовые аффинные алгебры и янгианы

• Автор: Шапиро, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Квантовые аффинные алгебры

1. Реализации алгебры ид(А^)

1.1. Реализация Дринфсльда

1.2. Стандартная реализация

1.3. ДЬА-реализация

2. Связи между реализациями

2.1. Универсальная 7£-матрица

2.2. Стандартная реализация и реализация Дринфельда

2.3. От стандартной к ЛЬЬ-реализации

2.4. От АХЬ-реализации к реализации Дринфельда
3. Универсальная 7^-матрица и весовая функция

3.1. Борелевские подалгебры в ид(А2 )
3.2. Проекции
3.3. Пополнения
3.4. Соотношения между коумножениями и универсальной Я-матрицей
3.5. Универсальная весовая функция
4. Сложные токи
4.1. Определения
4.2. Аналитические свойства
5. Вычисление весовой функции
5.1. Обозначения
5.2. Основные результаты
5.3. Вычисление остальных проекций
5.4. Связь ЛХЬ-реализации со сложными токами
6. Примеры

7. Приложение 1
7.1. Доказательство теоремы 5.
7.2. Вспомогательные утверждения
7.3. Доказательство теоремы 5.
Глава 2. Янгианы
8. Начальные сведения
8.1. Янгиан У(д(п)
8.2. Представления янгиана У(д1„)
8.3. Функтор
9. Редукция к элементарным модулям
9.1. Параболическая индукция
9.2. Стандартные модули
10. Операторы Желобенко
10.1. Определение
10.2. Сплетающие операторы
11. Вектора старшего веса
11.1. Коммутативный случай
11.2. Антикоммутативный случай
12. Гипотеза
13. Приложение 2

Введение
Диссертация посвящена изучению квантовых аффинных алгебр и янги-анов. С одной стороны, оба типа исследуемых объектов являются квази-треугольными алгебрами Хопфа, что позволяет использовать их теорию представлений при решении различных задач квантовой и статистической физики. С другой, как квантовые аффинные алгебры так и янгиа-ны являются деформациями алгебр токов над универсальными обертывающими алгебрами классических алгебр Ли. Это замечание позволяет применить для их изучения многочисленные техники разработанные для классических алгебр Ли.
Квантовые аффинные алгебры допускают три различные реализации с разными структурами алгебр Хопфа. Первая из них — “стандартная” реализация — задается при помощи образующих Шевалле и соотношений, определяемых соответствующей матрицей Картана. Стандартная реализация содержит малое число образующих, но, к сожалению, крайне неудобна для использования в приложениях. Вторая реализация — это “новая реализация” Дринфельда, впервые описанная в [13] при помощи производящих функций (токов Дринфельда) и соотношений на них. Реализация Дринфельда позволяет использовать методы комплексного анализа при изучении алгебры. Более того, именно в ней описываются все конечно-мерные представления квантовой аффинной алгебры. Наконец, третья — это реализация в терминах Ь-операторов, основанная на подходе, развитом в школе Л. Д. Фаддеева. В тексте мы для краткости будем использовать ее жаргонное название — ДББ-реализация. При этом подходе образующие собраны в матричнозначные производящие функции, удовлетворяющие уравнению Янга-Бакстера (см. [18], [41]). Простота ко-умножения в ЛББ-реализации позволяет строить новые представления, как тензорные произведения уже известных. По этой причине именно ЯББ-реализация широко используется в физических моделях.
Считается общеизвестным, что описанные реализации квантовых аффинных алгебр изоморфны, несмотря на то, что точные доказательства существуют лишь для алгебр д [„-серии. Для алгебры С/ДзК) изоморфизм

ф) з(го) 5(10)5(2)
нули полюса нули полюса
го = 2 го = д2г го = 2 го = д~
Су 1 II 3 со 1 II 3 го = —д^*2 го = —д~
IV = г го = 2 го = 2 го =
и) = го = —д~хг го = —дг го = —д
го = ф IV = д22 го = д~22 го = д~
т — —д~хг го = —д~хг го — —дл го = — £
го = —дг из — —дг п> = —д_12 го = —д_
ё II 1 Ю го = д~22 го = д22 го = д2г
Теперь первые четыре нуля получены из диагональных условий, а следующие четыре — из условий Серра. Следовательно, произведение имеет простые нули на прямых го = 2 и го = —<72 и простые полюса на прямых ь) — д22 и и) = —д32. Получаем еще одно равенство голоморфных функций:
№-?>)№ +у,) (гГЯ^ + ^8(тЫг) (4 4)
(2-го)(дг + го) 3^^> (2 - го) (2 + дго) 3^>3^>- ^А>
5. Вычисление весовой функции
5.1. Обозначения
В этом параграфе мы вводим некоторые обозначения, которые будут часто использоваться в дальнейшем изложении. Итак, положим
п—1 п—1 О
, _ ТТ хп — г% ТТ гк ~ Я 1Ч
Рк(х II -а22-' ^ ^
г=1 г=

( ^ гк ^ (£п - ъ)(гк + д32{)
'",гп~1’Хп) ^ 1 {гк + дгг)(гп - фгг) ’ (5^]