Системы уравнений от коммутирующих переменных и стабилизаторы автоморфизмов для свободных произведений групп

• Автор: Есып, Евгений Семенович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные результаты

§1. Категория С'-групп

§2. Определения и основные факты алгебраической

геометрии над группами

§3. Ультрастепени и координаные группы

§4. Свободные произведения и функции длины

Глава 2. Системы уравнений от одной переменной

§1. Свободные произведения циклических групп

§2. Свободные произведения абелевых групп

Глава 3. Системы уравнений от коммутирующих переменных
§1. Свободные группы
§2. Свободные произведения абелевых групп
Глава 4. Стабилизаторы автоморфизмов свободных С-групп 70 §1. Теоремы конечности
§2. Программа для вычисления группы неподвижных точек свободной конечно-порожденной группы
Литература

Введение
Основания алгебраической геометрии над группами изложены в статье Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [13], где введены категория О-групп, категория алгебраических множеств, категория координатных групп для алгебраических множеств, топология Зарисского, группы нетеровые по уравнениям, радикалы систем уравнений и многие другие понятия и указаны взаимосвязи между ними. Логические основы алгебраической геометрии над группами исследованы в статье А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова [16]. В настоящее время наиболее изучены структуры алгебраических множеств и их координатных групп для следующих конкретных классов групп: для свободных групп [18], [17], [19], для свободных метабелевых групп [20], [21] и абелевых групп [22], [16].
В общей ситуации даже для ’’хорошей” группы С структура алгебраических множеств и их координатных групп является сложной. Поэтому актуальной является локальная задача: исследование алгебраических множеств и их координатных групп для специальных систем уравнений. Основными типами специальных систем уравнений в настоящее время являются следующие: системы уравнений от одной переменной, системы уравнений от коммутирующих переменных, системы невырожденных уравнений.
Системам уравнений от одной переменной над свободной группой посвящены работы Аппеля, Лоренца, Линдона, Чизвелла, Ремесленникова: [29], [32], [33], [34], [10]. Невырожденные системы уравнений над нильпо-тентными группами без кручения исследованы в диссертации [23].

В данной диссертации развивается направление исследований, начатое в работах авторов, отмеченных выше. В ней базисными специальными системами уравнений являются: системы уравнений от одной переменной и системы уравнений от коммутирующих переменных, а основными классами рассматриваемых групп являются следующие: свободные произведения циклических групп и свободные произведения абелевых групп без инволюций.
Основные результаты диссертации заключаются в следующем:
1. Найдено прямое доказательство о вложении координатных групп в ультрастепень *С для неабелевой СБА-группы О.
2. Проведена классификация координатных групп и алгебраических множеств для систем уравнений от одной неизвестной над свободным произведением циклических групп (2.1) и над свободным произведением абелевых групп без инволюций (2.2).
3. Проведена классификация координатных, групп и алгебраических множеств для систем уравнений от коммутирующих неизвестных над свободной группой (3.1) и над свободным произведением абелевых групп без инволюций (3.2).
4. Доказана теорема конечности для автоморфизмов (^-свободных групп. Найдена процедура нахождения порождающих группы неподвижных элементов для автоморфизма свободной группы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
Перейдем к изложению результатов диссертации по главам.
Центральным понятием диссертации является понятие категории 0-групп, введенное в [13]. Определим это понятие.
Пусть Ь = (•,~1,1) - стандартный язык первой ступени теории групп. Здесь ■ - символ группового умножения, _1 - символ взятия обратного элемента и 1 - единичный элемент. Зафиксируем произвольную группу О

Глава
Системы уравнений от одной переменной
§1. Свободные произведения циклических групп
Пусть С - группа, являющаяся свободным произведением циклических
групп, т. е. С = * Д * * Д, где группа Д = (а,-|а"* = 1) - циклическая
1=1 ]=
порядка Пг, г € {1,...,?’}, В] = - бесконечная циклическая группа, у (Е
В этом параграфе будут доказаны следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Любая координатная группа (?у неприводимого алгебраического множества ¥ С (7, й-изоморфна группе одной из следующих четырех серий:

(2) {СЛ| [иЛ] = 1)> где и 6 С{1} - корневой элемент бесконечного по-
(3) в* (г)
(4) <7*(£|1" = 1), где п Е О (<7), О (С) - множество порядков элементов группы С.
Замечание. Элементы конечного порядка группы С сопряжены элементам групп Д, г £ {1,..., г} [11], поэтому множество О (С) конечно и состоит из делителей порядков конечных групп Д, І 6 {1,
Теорема 2.1.2. Пусть Л - неглавный ультрафильтр над счетным множеством I, и пусть *С - улът.рапротведение С1 /И. Тогда любая С-подгруппа Р <*С с одним С-порождающим С-изоморфна группе одной из
серий (1), (2), (3), (4), перечисленных в теореме 2.1.1.