Идеалы в полукольцах непрерывных функций

• Автор: Широков, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Глава 1 Основы теории полуколец непрерывных функций
§1 Исходные понятия теории полуколец
§2 Полумодули
§3 Полукольца непрерывных неотрицательных функций и их идеалы
§4 О решетке конгруэнций на полуполе непрерывных положительных функций
Глава 2 Свойства идеалов полуколец непрерывных неотрицательных функ-

§5 Инъективные по Бэру идеалы полуколец С*(Х)
§6 Чистые идеалы полуколец С?(Х)
§7 Проективные идеалы полуколец С*(А)
§8 Плоские идеалы полуколец С^(Х)
§9 Характеризация топологических свойств пространств в терминах идеалов полуколец непрерывных функций на них
Литература.

Исследования, проведенные в диссертации, посвящены теории полуколец непрерывных функций - развивающемуся направлению функциональной алгебры. Рассматриваются идеалы полукольца С?(X) всех непрерывных неотрицательных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Изучаются свойства идеалов в полукольцах С*(Х), такие, как инъ-ективность по Бэру, проективность, чистота, плоскостность. Полукольца непрерывных функций естественно появились в рамках теории колец непрерывных функций.
Изучение колец С(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X, началось в 30-е годы XX века с работ Банаха, М. Стоуна, И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова. В настоящее время кольца С{Х) представляют собой классический математический объект, который достаточно хорошо изучен. Назовем известную монографию Гиллмана и Джерисона [52], книги [13, 14] и обзорные работы Е. М. Вечтомова [12, 57].
Кроме полукольца СТ(X) с кольцом С(Х) тесно связано также полуполе и(Х) всех положительных функций на X. Кольцо С(Х) является кольцом разностей как полукольца (Ґ(.X), так и полуполя и(Х). Впервые общее определение полукольца было дано Вандивером [56] в 1934 году. Полукольца СҐ(Х) встречаются в литературе, начиная со статьи Словиковского и Завадовского [55]. Полуполя и(Х) подробно изучаются с 1995 года [7, 15, 35 -37]. Полукольцам непрерывных функций посвящен обзор [19]. См. также обзорную статью [50].
Впервые конгруэнции на полукольцах СҐ(Х) для тихоновского пространства Х рассматривались в статьях [48, 49]. Систематическому изучению конгруэнций на СҐ(X) посвящена диссертация И. А. Семеновой [36]. Описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах СХ) и
максимальные конгруэнции на полуполях 1}{Х), даны характеризации главных и идеальных конгруэнций на полуполях и(Х). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С?{Х) и 11 (X) с топологией поточечной сходимости исследованы М. Н. Подлевских [27, 28]. Подалгебры в полукольцах С*(Х) и ЩХ) изучались в статьях [16, 31]. Идеалы полуколец СХ) рассмотрены в [7, 29]. Максимальным идеалам полуколец непрерывных функций со значениями в некоторых топологических полутелах посвящена диссертация В. И. Варан-киной [6].
Аналоги полуколец непрерывных функций используются (через пучковые представления) в общей теории полуколец [19, 39, 40, 41]. Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры. Ей посвящены монографии [53, 54] и пособия [17, 41]. В работах [1, 2, 33, 34] получены интересные результаты о строении полутел. В [20] построена теория абелево-регулярных положительных полуколец, тесно связанная с полу-телами. Она применяется, в частности, в [22] к изучению регулярности полуколец матриц второго порядка. Укажем также диссертации А. В. Ряттель [30] и И. И. Богданова [2] по теории полутел. Заметим, что полукольца находят применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [25, 26, 53].
В диссертации решены следующие задачи.
1. Получены критерии дистрибутивности решетки конгруэнций полу-поля непрерывных положительных функций.
2. Описаны инъективные по Бэру идеалы полуколец С¥(X).
3. Исследованы чистые и проективные идеалы в полукольцах непрерывных неотрицательных функций.
4. Доказана плоскостность любого полупервичного идеала полукольца
Аналогично получаем — > с ".

Теперь возьмем су, сть су2 - произвольные конгруэнции на и(Х). Пусть У(ап(аіОа2))я, /^еіІ(Х). Тогда (ЗИеЦ(Х)) fag и fGho2g. Рассмотрим главные конгруэнции р, рь р2, порожденные парами (/&), (/*,§) соответственно. Тогда, во-первых,/р§- и fphp2g, значит ХРп(Рі °Р2))Я- Во-вторых, р са, рісаі, р2са2, поэтому (ргтр,)о(рпр2) с (апа,)о(сгхт2). По доказанному выше имеем р^(р]Ор2) = (рпрі)°(рпр2). Следовательно, Х(апоі)о(апо2))£. Таким образом, дистрибутивный закон на Соп и(Х) выполняется для любых конгруэнций. Теорема доказана.
Замечание 4.1. Доказательство достаточности теоремы 4.1 позволяет по новому доказать, что дистрибутивность решетки идеалов кольца С(Х) вытекает из того, что X является ^-пространством. Действительно, если X есть ^-пространство, то по доказанному решетка Соп 1/(Х) дистрибутивна. Тогда в силу эпиморфности отображения 8: Соп 1/(Х) -» Ы С(Х), определенного на стр. 22, дистрибутивной будет и решетка Ы С(Х).