Унары с тернарной мальцевской операцией

• Автор: Усольцев, Вадим Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
Введение

Глава I. Основные определения и конструкции

§1. Унары

§2. Коммутаторы конгруэнций, абелевы и нейтральные алгебры

§3. Унары с мальцевской операцией

§4. Алгебры с операторами

Глава II. Унары со стандартной мальцевской операцией

§ 1. Связь конгруэнций унара со стандартной мальцевской операцией и его унарного редукта

§2. Конгруэнц-простые унары со стандартной мальцевской операцией

§3. Подпрямо неразложимые унары со стандартной мальцевской операцией

§4. Псевдопростые унары со стандартной мальцевской операцией
Глава III. Свободные алгебры многообразия унаров с термом Пиксли
§1. Конструкция свободной алгебры многообразия унаров с
термом Пиксли
§2. Свойства свободных алгебр многообразия унаров с термом Пиксли

§3. Свободные алгебры подмногообразия С многообразия уна-
ров с термом Пиксли
Глава IV. Свойства унаров с термом Пиксли
§1. Неабелевость алгебр многообразия унаров с термом Пиксли 85 §2. Свойства редуктов унаров с термом Пиксли
Литература

Введение
В монографии [15] А.Г.Курош обращает внимание на необходимость изучения универсальных алгебр с операторами ([15], §13), то есть алгебр с дополнительной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Эти операции называются перестановочными с основными операциями. К алгебрам с операторами близки дистрибутивные Q-кольцоиды ([15], §15), которые изучались в работах [30], [16].
В настоящей диссертации алгебры с операторами изучаются в терминах их унарных редуктов. Если / — унарная операция из сигнатуры Q, то унарным редуктом алгебры (А, Q) называется унар (А, f).
Унарные алгебры и, в частности, унары (алгебры с одной унарной операцией) образуют важный класс универсальных алгебр. Унары можно рассматривать как автоматы без выхода, имеющие единственный входной сигнал. Обзор результатов по унарам можно найти в [40], [24], [45]. Заметим, что каждая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом, порожденным множеством унарных операций. Теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [23], A.B.Михалева [45], У.Кнауэра, М.Кильпа, И.Б.Кожухова [14] и других авторов.
Исследования унаров можно условно разбить на ряд направлений. К первому из них относятся работы, в которых изучаются классы унаров, обладающие заданными свойствами, а также различные теории унаров. Проблематика этих исследований восходит к [17]. В работах второго направления рассматриваются алгебры, производные от унаров: решетки конгруэнций, решетки подалгебр, моноиды эндоморфизмов, группы

приведенным выше.
Пусть теперь п — простое число. Тогда, поскольку по условию унар (Л, /) неизоморфен С„, то В — собственный подунар унара А. Таким образом, существует элемент г Е АВ. При этом возможны два случая.
1-й случай: {г) П В = 0. Тогда, для а Е В имеем к(а, г) = оо. Поскольку п > 1, то найдется элемент с Е В, с ф а. Отсюда адвс и, по замечанию 2.1.2, к(а, с) = оо. Последнее равенство влечет р(г, а, с) = с. С другой стороны, р(г,а,а) — г В, откуда [г, с) $ Ов, а значит, отношение в в не стабильно относительно операции р.
2-й случай: Выполняется условие /к(г) = в для некоторых в Е В и к > 0. Поскольку п > 1, то найдется элемент с € В, с с1. Тогда (г, с1) вв, (г, с) вв, вОвс. Так как с1 и с принадлежат циклу, то по замечанию 2.1.2 имеем к{й,с) = оо. Отсюда р{г, г/. с) = с, и, учитывая, что р(г,с1,(1) — Ь и (г, с) 6ф, снова получаем, что отношение вв не стабильно относительно р.
Остается рассмотреть случай, когда п = 1. Пусть т —- число одноэлементных подунаров унара Л. Рассмотрим сначала случай, когда т 2. Тогда унар Л имеет подунар В = {6, с}, изоморфный С® + (7°, который является, по условию, собственным. Отсюда, найдется элемент а Е А В. Рассмотрим конгруэнцию вв унара Л. Так как элементы Ь,с лежат в разных компонентах связности, то к(Ъ,с) = оо. Отсюда р{а, Ь, с) = с, и, учитывая, что р(а, Ь, Ъ) = а и (а, с) #£?, получаем, что отношение вв не стабильно относительно р.
Пусть теперь 777 — 1. Предположим сначала, что унар Л — связный. По условию, он не изоморфен /, £ N и {оо} и, следовательно, имеет узловой элемент а. Тогда найдутся элементы Ь,с Е А, отличные от а и