Закон Грама в теории дзета - функции Римана

• Автор: Королёв, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 294 с.

Оглавление
Введение

Дзета-функция Римана и её нули

Точки Грама

Функции S(t) и N(t)

Классификация законов Грама

Закон Грама в работах Сельберга

Предмет исследования . ■

Обозначения

Глава 1. Моменты специальных тригонометрических полиномов

§1 Чётные моменты величины V{tn)
§ 2 Явные формулы для коэффициентов Фп
§ 3 Порядок роста коэффициентов Фп при п —» +оо
§4 Дробные моменты величины V(tn)
§ 5 Уточнение оценки остатка в формуле для первого момента
Глава 2. Поведение аргумента дзета-функции Римана в точках Грама
§ 1 Приближение функции S(t) специальными тригонометрическими полиномами
§2 Моменты величин |Д(п)| с целым показателем
§3 Моменты величин |Д(п)| с дробным показателем
§4 Распределение величин | Д (гг.) |
Глава 3. Формулы Сельберга и их следствия
§ 1 Первое доказательство формул Сельберга
§ 2 Второе доказательство формул Сельберга
§ 3 Третье доказательство формул Сельберга
§ 4 Поведение разностей tn — 7П
§5 Аргумент дзета-функции Римана в точках разрыва
§6 Промежутки Грама с аномальным числом ординат нулей ((s)
§ 7 Новый эквивалент «почти» гипотезы Римана
Глава 4. Порядок роста величин Д„
§ 1 О - и П - теоремы для Дп
§ 2 Значения, которые принимает величина Дп

Глава 5. Соседние ординаты, не подчиняющиеся закону Грама
§1 Большие расстояния между соседними ординатами нулей £(s)
§ 2 Распределение знаков в наборах (Д„,..., An+S_i)
§3 Распределение произведений Дп ... Дп+8_!
Глава 6. Значения функции £(| + it) в точках Грама
§ 1 Верхняя оценка log |С(| + it) |
§ 2 Основные теоремы
Приложение I. Вспомогательные утверждения
Приложение II. Фрагменты работ Грама, Хатчинсона, Титч-марша и Сельберга
И.-П. Грам, «О нулях функции Римана C(s)>:>
Дж.И. Хатчинсон, «О корнях дзета-функции Римана»
Э.Ч. Титчмарш, «Нули дзета-функции Римана»
' А. Сельберг, «Дзета-функция и гипотеза Римана»
Приложение III. Таблицы
Статистика нарушений правила Грама
Соседние члены последовательности Дп, отличные от нуля
Маленькие значения С(| + **) в точках Грама
Дискретный момент дзета-функции Римана
Литература

Введение
Светлой памяти моего Учителя Анатолия Алексеевича Карацубы
Дзета-функция Римана и её нули
Для комплексного числа s = a + it с условием Re s — о > 1 дзета-функция Римана £(s) определяется как сумма бесконечного ряда
+00 -У
■' па

Дзета-функцию ввёл в математику Леонард Эйлер. В своих рассуждениях он впервые использовал (при вещественных s > 1) тождество
хУп (i-Д1. (Ч
71=1 Р
теперь носящее его имя1). Дзета-функцию как функцию комплексного переменного первым стал изучать Бернхардт Риман.
Правее единичной прямой Re s = 1 справедливо равенство
С(а) = _±_ _ sj^ MdUj (2)
в котором через {и} обозначена дробная доля и. Так как несобственный интеграл в (2) сходится при любом s с положительной вещественной частью, то с помощью этого равенства дзета-функция мероморфно продолжается в область 0 < Res ^ 1. Для продолжения £ (s) на всю комплексную плоскость рассматривают функцию
£(s) = s(s-l)7r_2r(!)£(s),
которая называется кси-функцией Римана. Определённая при Res > 1, кси-функ-ция допускает в этой области представление

(У2-1 + x~(s+1^2) w(x) dx, (3)
правой части (1) стоит бесконечное произведение по всем подряд идущим простым числам.

(1.21) для Ф8, через ©2, • • • , ©8- Прежде всего, имеем:
(2, 2, 2,2) >- (2,2,4) >- (2,6), (4,4) >- (8).
Следовательно, <52,2,2,2 имеет вид
+ А&1&4 + В&266 + С&1 + Т>©
(вместо А-р для краткости будем использовать буквы А, В и т. д.). Заполним следующую таблицу, в которой на пересечении строки, отвечающей набору 7 (и дроби |(7)), и столбца, отвечающего моному 9Я = ©а,... ©д2, стоит коэффициент, с которым ^7) входит в Ш
7 ГЧД 6|в4 6266 е| е8 о
(2,2,4) рЫрз 12 2 0 0 0
(2,6) Р?Р® 4 2 1 0 0
(4,4) РРг 6 2 0 2 0
(8) Рг 1 1 1 1 1
Действительно, дробь (р^Рз)-1 не встречается в разложениях ©2©в, ©4 и ©8, дробь {рр2)~1 - в разложениях б|, 68, дробь (р^Рг)-1 - в разложениях ©2©б, ©8, поэтому соответствующие ячейки таблицы заполняются нулями. Далее, сумма ©2 имеет вид
Е (««Г-
91,••■,
Фиксируя различные простые числа рь рг, рз, подсчитаем число наборов д2,9з, равно количеству решений уравнения
яШя1 = ррр (1-22)
в простых д1,.... <74. Очевидно, что два числа из <7* должны совпадать с рз. Выбор

этой пары можно осуществить I I =6 способами. Из двух оставшихся 5, одно
должно равняться рь а другое - р2, так что выбрать значения для них можно 2 способами. Значит, общее число решений (1.22) составит 6 • 2 = 12.
Рассуждая аналогично, убеждаемся, что коэффициент, с которым дробь (р?р|рз) входит в ©2©4, равен числу решений уравнения <^ Далее, несложно проверить, что уравнения
яЫя1я1 = р1р62, Я1Ч2Я3 = рЫ: Я1Я2 = Р?Р®
имеют 4, 2 и 1 решение, соответственно. Эти числа помещаются во вторую строку таблицы.
Третья строка таблицы будет содержать числа решений уравнений
2222 4 4 224 44 26
Я Я2Я3Я4 = Р1Р2. Я1Я2Я3 = Р1Р2, Я1Я2 = Р1Р2.