Дифференцирования параболических подколец в матричных кольцах и регулярность присоединенной группы в радикальном случае

• Автор: Мальцев, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 67 с.

Содержание
Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1 Дифференцирования параболических подколец в матричных кольцах и ассоциированных с ними колец Ли и Йордана

1.1 Предварительные сведения

1.2 Дифференцирования кольца 3/(11)

1.3 Экстремальные йордановы и лиевы дифференцирования

1.4 Йордановы и лиевы дифференцирования кольца Дг(-К)

Глава 2 О регулярности силовских р -подгрупп симплектиче-ских и ортогональных групп над кольцом Z/pотZ

2.1 Вспомогательные результаты

2.2 Симплектические группы

2.3 Ортогональные группы
Список литературы

Введение
Дифференцирование алгебр Ли L(R) и Йордана J(R), ассоциированных с ассоциативной алгеброй R, называют соответственно лиевым или йордановым дифференцированием алгебры R. Аналогично их определяют для ассоциативного кольца Я, а также лиевы и йордановы изоморфизмы и автоморфизмы R.
Лиевы и йордановы дифференцирования и изоморфизмы алгебр и колец имеют давний интерес. Хорошо известно, что для нильпотентного дифференцирования Ö алгебры Ли над полем нулевой характеристики ехр (4) есть автоморфизм алгебры. Такие автоморфизмы простых комплексных алгебр Ли являются ключевыми при построении групп Шевалле над произвольным полем и даже ассоциативно-коммутативным кольцом. Согласно классической теореме И.Н. Херстейна [26], йорданово дифференцирование первичного кольца характеристики ф 2 всегда является дифференцированием самого кольца. Теорему для йордановых изоморфизмов см. [27], [28]. Развитие исследований отражают W.E. Baxter, W.S. Martindale, A.B. Михалёв, К.I. Beidar ([12], [18]) и др.
Для простых и полупервичных колец аналоги теорем Херстейна изучали J. М. Cusack, М. Bresar, М.A. Chebotar, P. Semrl, J. Vukman ([16], [21], [19]). Для колец и алгебр (с ненулевым нильпотентным идеалом) NT(n, R) нильтреугольных и Т(п, R) треугольных п X п-матриц с различными ограничениями на кольцо коэффициентов лиевы и йордановы дифференцирования изучали A.H.A. Driss, Y. Cao, L. Ben Yakoub, S. Ou, D. Wang, R. Yao, J.H. Chun, J.W. Park ([24], [39], [22]) и, соответственно (случай T(n, Я)),
S.P. Coelho, C.P. Milies D. Benkovic, S. Jondrup ([20], [31],[15] и др.).
N.M. Ghosseiri [25] изучал более общее, чем T(n, R), параболическое (то есть содержащее T(n, R)) подкольцо полного матричного кольца M(n, R).
Главный пример получается здесь следующим образом. Обозначим через еij матричные единицы. Набор I = {/р} идеалов кольца R с условием lijljk Q hki для любых i,j,k из множества Гп = {1,
ковровым параболическим.
Когда R есть кольцо без 2-кручения. N.M. Ghosseiri доказал разложимость йорданового дифференцирования коврового параболического под-кольца в сумму дифференцирования и антидифференцирования. В.М. Лев-чук и О.В. Радченко установили аналог теоремы Херстейна для дифференцирований кольца NT(T,R) нильтреугольных финитарных Г-матриц Наи11ыег над любым ассоциативным кольцом R с единицей, где Г — произвольное линейно упорядоченное множество [33], [8]. Естественно возникает
Задача (А). Описать лиевы и йордановы дифференцирования коврового параболического подколъца кольца финитарных Г-матриц над произвольным, ассоциативным кольцом с единицей.
Далее. Автоморфизмы радикального кольца
Kn{R, J) = NT{n, R) + М(п, J)
изучались в [32]. Известно, что когда R есть кольцо Z/pmZ классов вычетов целых чисел по модулю рт (р - простое число, т 1,) присоединенная группа кольца Kn(R,J) изоморфна силовской р-подгруппе группы GLn(R). Подобное представление использовалось для силовских р-подгрупп классических групп и групп Шевалле над кольцом Z/pmZ при исследовании их центральных рядов и автоморфизмов (см. [1, Вопросы 6.34 и 12.42]). Вопрос 8.3 Верфрица из Коуровской тетради [1] и его аналог о регулярности указанных силовских подгрупп изучали A.B. Ягжев [11] и С.Г. Колесников [2], [3]. В диссертации исследуется
Задача (Б). Перечислить регулярные силовские р -подгруппы классических линейных групп или, более общо, групп Шевалле нормальных типов над кольцом Z/pmZ.

отображение то кольца 5/(і?) в себя, заданное формулой

а, Ь ( т(с?) т(Ь)
её) I О т(б)
является лиевым дифференцированием 57(Д). В самом деле, для произвольных
из 5/ (Я) имеем т0(АВ - В А)
(а Ь ( х у
б)’ М
с а и у
т(су + ди — иЬ — усі) т(ау + Ьу — хЪ — уд)
О т(су + ду — иЬ — уд) у
т(су — иЪ) т(ау + Ьу — хЬ — ус?)
О т(су — иб) у
ст(у) + иг(6) ат(у) + ут(Ь) + жт(Ь) + дт(у) О ст(у) 4- ит(&)
С другой стороны,
то(А) * 5 + Л * то(В)
— ут(д)

т(д)х + т(Ь)и — хт(д) т{д)у + т(Ь)у — жт(6) — ут{д) т(с1)и — ит{д) т{д)у — ит(6) — ут(д) )
ат(у) — т{у)а — т(у)с ат(у) + Ьт(г>) — т(у)Ъ — т{у)д
ст(у) — т(у)с ст{у) + дт(у) — гНо(у)д у
(ит(Ь) + ст(у) г)т(6) + жт(6) + ат(у) + с?т(у)
О ст(у) + ит{Ъ) у
Значит, то(АВ * ВЛ) = то(Л) * В + А * то(В).
И) Для всякого элемента / Є і?(ії)П 7 такого, что 2/ = 0 и ф-(ЯоЯ) О (равносильно ф (Я * Я) = 0), отображение