Дифференциально-разностные операторы, ассоциированные с системами корней коксетеровского типа

• Автор: Мещеряков, Виктор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Коломна
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
Введение
1 Системы корней коксетеровского типа
1.1 Определение системы корней коксетеровского типа
1.2 Базис системы корней. Матрицы и графы Коксетера
1.3 Классификация систем корней
1.4 Каноническая билинейная форма
1.5 Конструкция систем корней и канонических билинейных форм
1.5.1 Системы типа А,п
1.5.2 Системы типа Вп
1.5.3 Системы типа £„
1.5:4 Системы тина Е$
1.5.5 Системы тина £7
1.5.6 Системы типа Е&
1.5.7 Системы тина £4
1.5.8 Системы типа Сг
1.5.9 Системы типа Яз и Я4
1.5.10 Системы типа £(?>)
2 Операторы Дункла рационального типа
2.1 Определения и свойства
2.2 й-гармонический анализ
2.2.1 Разложение однородных многочленов на Н-гармонические
2.2.2 Принцип максимума
2.3 Функции Бесселя как обобщенные гиперболические
функции
2.3.1 Определение обобщенной экспоненты
2.3.2 Рекуррентные соотношения
2.3.3 Дифференциальное уравнение для функций Бесселя

2.4 Специальные функции, ассоциированные с системой корней типа Со
2.4.1 Явный вид Ь-гармонических функций
2.4.2 Частный случай
3 «Универсальные» операторы Дункла
3.1 Основные понятия и обозначения теории «универсальных» операторов
3.2 Многообразие Дункла
3.3 Многообразие Бете
3.4 Доказательство теоремы
3.5 Конструкция многообразий Бете-Дункла в случае классических систем корней
3.5.1 Случай А
3.5.2 Случай В
3.5.3 Случай В
3.6 Конструкция многообразий, ассоциированных с исключительными системами корней
3.7 Связь «универсальных» операторов Дункла с рациональными операторами для классических систем корней
Литература

Введение
Актуальность темы. В конце 80-х годов прошлого века Ч. Дунклом введены [8] коммутирующие между собой дифференциально-разностные операторы, являющиеся обобщением оператора взятия производной по направлению. В настоящее время они называются операторами Дункла рационального типа.
В определении операторов Дункла используется понятие системы корней, связанное с теорией комплексных полупростых групп и алгебр Ли.
Подмножество Я евклидова пространства V (относительно фиксированного скалярного произведения ( | )) называется системой корней в V, если выполнены следующие условия:
(111) Множество Н конечно, порождает V и не содержит 0;
(112) Если а £ К, то отражение ва относительно гиперплоскости, ортогональной а, оставляет множество Я инвариантным;
(КЗ) Если а £ Я, то среди кратных корню а в Я содержатся только
(БД) Для всех а,/3 £ Я число £ Ъ.
(аа)
В теории дифференциально-разностных операторов условие (И4) часто отбрасывают и рассматривают операторы Дункла, ассоциированные с системами корней, которые в дальнейшем будут

а2 = —2еі + e2 + &ъ- Фундаментальная форма задается формулой:
тр ( (х I у">
рС2{х./у) ~
1.5.9 Системы типа Щ и Я4
Для того, чтобы описать систему корней типа Я4 отождествим пространство К4 с телом вещественных кватернионов И, сопоставляя базисным векторам е4, е2, ез, е4 кватернионные единицы 1, г, Э, к-Пусть
7т 1 + /5 , 27Г — 1 + /5
а — cos — — , о — cos = ,

тогда система корней типа Я4 состоит из кватернионов единичной длины, которые получаются из элементов 1, —(1 + i +j + к)

1- L *
и а 4- -г + о] четными перестановками координат и произволь-&
ной заменой знаков. Простыми корнями можно считать, например векторы
Oil = а - -г + bj,
1. ,
а2 = -а-Ь-г + Оу,

аз = - + - ад
1 1л
а4 = —- — аг + Ьк.
Систему корней типа Я3 можно рассматривать как пересечение гиперплоскости ж4 = 0 и Я4. Векторы «і, а.2 и аз будут составлять в этом случае простую подсистему системы Яз.
Для вычисления канонической билинейной формы воспользуемся равенством (1.4.2). Положим в = 1. Легко видеть, что в