Двумерно упорядоченные тела и поля

• Автор: Терре, Анатолий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 105 c. : ил

дования ван ден Дриса [ 301 и Дкекоба 136], посвященные п -кратно упорядоченным полям.
Систематическое исследование обобщений линейного порядка по размерности начинается с работ Шпернера по функциям порядка. В основу определения функции порядка положено свойство произвольной точки п-мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, по одну или другую сторону от нее. Значительная часть работ Шпернера [53], 155], 157] и его последователей: Глока [311, Бахмана и Клингенберга [27], Карцеля [39] -[41], Джоуссена [37], Ленца и Пейяша [43] посвящены чисто геометрическим вопросам. Вместе с тем, в ряде работ Шпернера [54], [56], Карцеля [ 38] и Керби [42] исследование функции порядка связано с рассмотрением алгебраических структур.
Следующий шаг в развитии понятия п -мерного порядка был сделан Глоком [32]. При определении функции ориентации аффинного пространства им намечен аксиоматический подход.
Наиболее глубокое развитие идея обобщения линейного порядка по размерности получила в независимых работах Г.Г.Пестова и Л.Новаха.
Г.Г.Пестов определяет п -мерно упорядоченное множество как пару (X , ] , где X есть некоторое множество и
[-1,0,1 - функция, удовлетворяющая определенным условиям. Первый вариант аксиоматики введен в [12]. Более совершен^ ный вариант приведен затем в [14]. Аксиомы выбраны с таким расчетом, чтобы одномерный порядок был эквивалентен линейному и и -мерно упорядоченные множества наследовали хотя бы некоторые существенные порядковые свойства подмножеств ориентированного п-мерного аффинного пространства. В работах [ 13 ] - [19] и 121]

исследованы некоторые свойства п-мерного порядка, а также даны некоторые его приложения в геометрии.
Определение п-мерного порядка Л.Новаха [46] отличается от определения Г.Г.Пестова, по сути дела, выбором другой системы аксиом. Системы аксиом оказались существенно различными. Ни одна из них не влечет другой. В работах [46] - [48] рассмотрены некоторые свойства п-мерного порядка по Новаху. Показано применение этого порядка в аксиоматическом определении трехмерного эвклидова пространства.
Таким образом, понятие п-мерного порядка, введенное Г.Г.Пестовым и Л. Новахом, представляет собой несомненный интерес. Широкий круг вопросов, поставленных и рассмотренных в указанных выше работах, говорит о возможности развития содержательной теории п-мерно упорядоченных систем. Среди этих систем выделяются двумерно упорядоченные алгебраические структуры.
Г.Г.Пестовым введены двумерно упорядоченные поля и исследованы некоторые их свойства. Размерность порядка поля взята равной двум потому, что при п = 2 п-мерный порядок наиболее естественно связывается с двумя бинарными операциями поля. Как известно, линейный порядок поля полностью описывается своим положительным конусом. По аналогии с этим в [ 201 , [ 23] и [ 60] введено понятие верхнего конуса двумерного порядка поля. Доказано, что двумерный порядок поля однозначно определяется своим верхним конусом. В [ 22] отмечено, что класс линейно или двумерно упорядочиваемых полей совпадает с классом полей характеристики нуль. Следовательно, с введением двумерного порядка сфера приложений порядковых структур в теории полей распространяется с класса формально вещественных полей на весь класс полей характеристики нуль.
Далее, Новахом в [46] введено понятие п -мерно упорядочен-

Лемма 3.4. Если х е В , ^ е. В их, осх, ^ , ^хе К^, то
(X - Х'^Ки - е_^'Л) (Х + Ц- ^ е - В“.
Доказательство. Вводя обозначения и. = - (.х - ос.-1-у4- и гг =-С^ -ц'*)"1'» в силу (1.19) и (1.21) получим ^,и е5,“, Из лемм 2 и 3 вытекает: и.1 е Ви , -ггг6 Ви . Отсюда согласно лемме 2.10 следует (X- г'-Г1(^- 4'1‘'Г1-= и1Г Ли , в силу (12Е) и
(1.23) тогда е - Ва
Если х е в , то аналогично получаем (х + х-1-к^ +^-4-')е-К1Л. Цусть х е В . Тогда из £ В ПГ следует ц + Л.
Соотношения же хеВ их,хгеВи согласно лемме 3 влекут' х + х'1- в ВоМо!,. Отсюда в силу (1.22) вытекает
О и
(х + х-^)(^ + ) 6 - В . Лемма 4 доказана.
Лемма 3.5. Если х е В , ^ е В и х,ха, ^^ е V/ , то
X 1^. е В
Доказательство. Из леммы 2.10 вытекает . Согласно
лемме 4 Имеем: + х"1-^'М-,-(х‘',-^+х^'М = ( х + ос.'1-) х
о а
<(^4 е-В ; (х ^ + х~*- - (х-1-^ + х ) - (х-х~‘Лх
х е - Ки. Отсюда в силу (1.19) получаем 2(х^ е
е - Ни. Так как СТ1- & , то из (1.22) вытекает
х е - ЙЛ Кроме того, из (1.23) и леммы 4 следует
+ у-^Кх -+х-Ме-Ки, - ч-М(х - ос-1) е-К“. Поэтому, как и выше, получаем ^х+^х-^е-УЛ .В силу (1.19) имеем
( X 1^ + X + ■) е - №и.
Цусть Х1| + е £ • , где £ = ± 1 . Согласно (2.4)
тогда ^х -^х'1-^-:1-= ^ (х ^ в <£■ В+0 . Из (2.2) следует + & (£ УЛ) П - В“ -противоречие с (1.17). Если же х^ -+ е £ У,и , то из (1.19 ) и
(1.23) аналогично вытекает (х^. + ^х-5-) + (^х + х-^-м &
е (£ ■ Ц “) П-Ки. Следовательно, £=-1 и х+ (х^у*- е-V,а.

Последнее вместе с о(|| е К означает х ^ е В> . Лемма 5 до-