Арифметическая характеризация конечных простых групп

• Автор: Горшков, Илья Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 67 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные определения и предварительные результаты
1.1 Обозначения
1.2 Распознавание по спектру
1.3 Простые группы малых порядков
1.4 Теорема Жигмонди и ее применение
2 Структурная теорема
2.1 Предварительные сведения
2.2 Доказательство теоремы 2.
3 Распознаваемость знакопеременных групп
3.1 Предварительные сведения
3.2 Доказательство теоремы 3.
4 Распознавание конечных простых групп малых порядков.
4.1 Доказательство теоремы 4.
5 О гипотезе Томпсона.
5.1 Предварительные сведения
5.2 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = 2^43(4)
5.3 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = С3(4)
5.4 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = В4(4)
5.5 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = 2Ая(5)

Оглавление
5.6 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = АНщ
Литература

Введение
Общая характеристика работы
В теории конечных групп большое значение имеет характеризация групп свойствами, представимыми в виде числовых характеристик. Наиболее часто используемыми числовыми характеристиками групп являются порядок группы и порядки ее элементов, порядки и индексы различных подгрупп, размеры классов сопряженных элементов. Арифметическое описание группы может быть достаточно точным, а в некоторых случаях и полностью (с точностью до изоморфизма) охарактеризовать ее в классе всех конечных групп. В частности, недавно A.B. Васильев, М.А. Гречкосеева. В.Д. Мазуров показали, что порядок группы в совокупности с множеством порядков элементов группы с точностью до изоморфизма определяет любую конечную простую группу в классе всех конечных групп [14]. В диссертации изучается вопрос о характеризации конечных простых групп по множеству порядков элементов и по множеству размеров классов сопряженных элементов.
В диссертации для конечных простых неабелевых групп будут использоваться следующие обозначения: знакопеременная группа степени п обозначается через Alt„. спорадические простые группы и простые исключительные группы лиева типа обозначаются в соответствии с «Атласом конечных групп» [45]. Для классических групп используется лиева нотация. Кроме того, симметрическая группа степени п обозначается через Symn.
Спектр ш(С) конечной группы С — это множество порядков ее элементов. Множество ui(G) конечной группы G замкнуто относительно делимости и однозначно определено множеством ß(G) тех элементов из w(G), которые
Глава 4. Распознавание конечных простых групп малых порядков.
4.1 Доказательство теоремы 4.1.

Используя [6], получаем, что //(С'3(4)) = {85.65,63,51,34,30, 20,12,8}. Группа Г>4(4) содержит подгруппу изоморфную С':3(4), в частности, іг(£>4(4)) =
ш(С3(4)) и {255}, а д.(Г)4(4)) = {255,65,63,34,30,20,12,8}. Таким образом. СК(С3( 4)) = СК(04( 4)).
Пусть Ь Є {С3(4), Л4(4)} и С — конечная группа, удовлетворяющая условию и>{С!) = ш(Ь). Несложно проверить, что максимальное по размеру независимое множество вершин р(2,Т), содержащее вершину 2, определяется однозначно и равно {2,7,13}. По лемме 1.2.2 существует конечная неабелева простая группа 5' такая, что 3 < С = С?/К < Аиі(З') для максимальной нормальной
разрешимой подгруппы К группы О. Очевидно, что 7г(5') С {2,3,5.7,13,17}. По лемме 1.2.2 числа 7 и 13 не делят число К • |С/5| и. следовательно, найдется максимальное независимое множество вершин р(2,3) такое, что множество {2,7,13} С р(2,5). Из групп, содержащихся в (і7> этому условию удовлетворяют группы: 4і(13),2В2(8) И4(64), С2(3), С2{4), М3(5), 6'3(4), 04(4). Значит, 5 изоморфна одной из этих групп. Так как в 2Л3(5) есть элемент порядка 60, а в Т не содержится элемента такого порядка, то 5 не изоморфна 2И3(5).
Предположим, что 5 не изоморфна С3(4) и Л4(4). Тогда 17 не делит порядок АЫ(3). Поэтому 17 Є и>(К). Положим К = К/017-(К), С — С/017і(К). Тогда N = Ои(К) 1. Предположим, что О = Ор(С/Ы) нетривиальна для некоторого простого числа р. Группа О не содержится в А/ N. Допустим, что р Є {2,3}. Так как в С нет элемента порядка 13 -р, то в С/И существует группа Фробениуса Т с ядром О и циклическим дополнением порядка 13. По лемме 1.2.3 в Є существует элемент порядка 13 • 17. Однако 13 ■ 17 £ и>(С). Таким образом, р = 5. Повторяя рассуждения приведенные выше, можно показать, что в этом случае в й существует элемент порядка 7-17, но 7-17 0 сг((7). Таким образом, К — 17-группа.
Пусть 5 изоморфна одной из групп ЛДіЗ), А1(64). С2(3), С2(4). Тогда в группе 5 существует группа Фробениуса Г с ядром порядка 13 и циклическим дополнением порядка 6. По лемме 1.2.3 в С существует элемент порядка 6 • 17. но