Явная формула для символа Гильберта в многомерных полных дискретно нормированных полях

• Автор: Беляева, Татьяна Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 46 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Явная формула для символа Гильберта
I.0 pN-примарных элементах
2.Явная формула в одномерном случае
3.Явная формула в многомерном полном поле
4.Важные технические леммы
Глава 2. Доказательства
5.Соотношение Кнезера
6.Соотношение нормирования.
7.Кососимметричность отображения
8.Независимость спаривания
9. Частный случай пропорциональности отображения
10. Частный случай соотношения Стейнберга
II.Инвариантность спаривания
12.Пропорциональность спаривания
13. Общий случай соотношения Стейнберга
Список литературы
Введение
1. При обобщении знаменитого квадратичного закона взаимности Гаусса на поле алгебраических чисел, математики XIX века натолкнулись на серьёзные препятствия. Чтобы их обойти, Гильберт (D. Hilbert) в работе [24], предложил совершенно новый подход к проблеме. Этот подход использовал символ норменного вычета, называемый теперь символом Гильберта. В каждом поле алгебраических чисел А', содержащем корни степени п из единицы, вводится символ норменного вычета (а,/?)р, который любым двум числам а и /5 и простому идеалу р поля К ставит в
_ . ___________ (__ Гоо1 Г»
соответствие корень степени п ИТ единицы ДМ. JL) терминал. OTU1U
символа общий закон взаимности в поле алгебраических чисел формулируется следующим образом
Таким образом, вопрос о нахождении явного вида общего закона взаимности сводится к вопросу о нахождении явного выражения символа Гильберта (а, 0)9 через а и (3 при произвольном идеале поля К.
Символ Гильберта играет важную роль в теории алгебраических чисел и арифметической геометрии. В частности, явная конструкция локальной теории полей классов может быть осуществленна только при наличии явной формулы для символа Гильберта. При таком подходе, локальная теория полей классов должна быть аналогична теории линейных пространств с антисимметричным скалярным произведением (роль такого произведения и играет символ Гильберта).
В случае локального поля с полем вычетов нечетной характеристики такая формула была получена С. В. Востоковым в 1978 г. (см.[4]) и обобщена на произвольное полное дискретно нормированное поле в 1979 г. (см. [5]), а в случае полного дискретно нормированного поля с полем вычетов характеристики 2 — X, Брюкнером в 1979 г. (см. [17]) и Г. Энья-
ром в 1981 г. (см. [23]).
В целях исследования ("-функции на абелевых многообразиях
А. Паршин и К. Като ввели новый тип полей — так называемые многомерные локальные поля, которые являются естественным обобщением классических локальных полей.
Полное дискретно нормированное поле К называется re-мерным полем, если для него существует последовательность полных дискретно нормированных полей А^, ..., К'пК удовлетворяющих следующим условиям:
• = А;
• — к - совершенное поле;
• для любого i £ {1,..., re} поле А^'-1) изоморфно полю вычетов К®. Таким образом, классические дискретно нормированные поля являются одномерными полями в смысле этого определения.
В случае, когда поле К^ имеет характеристику 0, а все остальные поля последовательности имеют характеристику р > 0, поле А называется разнохарактеристическим. Если же char = ■ • • = char А^ = О, charA^*-1) = = charA^0) = р >, s < re, поле А называется полем
смешанной характеристики.
Паршиным и Като была построена теоория полей классов для многомерных полей с использованием А'-групп Милнора. В связи с этим возник вопрос построения явной теории полей классов. Как и в одномерном, классическом, случае, этот вопрос тесно связан с построением явной формулы для символа Гильберта.
В случае нечётной характеристики последнего поля вычетов явная формула для символа Гильберта была получена С. В. Востоковым в 1985 г. (см. [7]) в случае разнохарактеристического поля и в 1995 г. (см. [3]) в случае поля смешаной характеристики. Также была получена явная конструкция теории полей классов для двумерного локального поля (см.

Пусть, для удобства записи, г = п. Тогда нетрудно видеть, что
< *ь.. >= т < £ь... ,£„,-1 > +^2 < > .
Тогда из определения ряда Ф получаем:
Ф(£ь...,£,-£) = т*71---«“^(-1)+т2(Ф^ + Ф(2))(<1,..,,*п,-1) =
= т^1 ■ • ■£~1£(-1) + т2^1 • ■ ■ 1) = £[1 •.. £~1(т + т2)/(—1).
Полученое выражение аналогично (44). Значит, действуя так же, как и в одномерном случае, можно получить сравнение (47).
§10. Частный случай соотношения Стейнберга
Проверим следующий частный случай соотношения Стейнберга
£„-ь а, 1 - а >= 0, г(а) > 0. (48)
Начнем с п = 1. Тогда равенство принимет вид
< а, 1 — а >— 0. (49)
Мы докажем равенство
< а,£(а1) >=0, (г,р) = 1, (50)

О? (У?
£(а) = ехр(а -I 1 у + ...).

Исходное соотношение (49) будет следовать из (50) в силу соотношения
1_а= П £(а‘)1Л
(>'.р)=
(см. [26]). На самом деле, достаточно проверить равенство
< а, £{а) >= 0,