Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы

• Автор: Злобин, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с.

1 Введение

1:1 Значения дзета-функции Римана в целых точках

1.2 Интегральные представления аппроксимаций

1.3 Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции

1.4 Результаты диссертации

2 Тождества
Д| $

2.1 Интегральные тождества

2.2 Разложение кратных интегралов в кратные суммы

2.3 Обобщенные полилогарифмы и преобразование г —>

2.4 Производящие функции для значений дзета-функции

2.5 Арифметические свойства кратных дзета-значений
3 Разложения кратных интегралов в линейные формы
3.1 Общая теорема о разложении кратных интегралов
3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях
3.3 Знаменатели коэффициентов линейных форм
3.4 Оценка коэффициентов линейных форм
3.5 Мера трансцендентности л2
3.6 Линейная независимость значений дзета-функции Римана
3.7 Линейная независимость значений классических полилогарифмов
3.8 Линейная независимость значений обобщенных полилогарифмов-

4 Другие кратные интегралы
4.1 Интегралы Рина
4.2 Кратные интегралы для линейных форм от £(4)
Литература
Глава 1 Введение

Глава
1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках
Напомним, что дзета-функция Римана £(s) при Res >1 определяется следующим рядом:
со ,

Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s ^ 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.
Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно:
A f O/rj ( ln~l(^7r) ”
С(2 n)-( 1) 2(2я)! n'
где В2П ~ числа Бернулли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению
»>1,
и начальному условию Во — 1. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа тт. Следовательно, при натуральном п число ф(2п) трансцен3.1 Общая теорема о разложении кратных интегралов
(/(ЯД, • • •, /(Яу_Д,/(Яу+Д + /(ЯД + 1, • • •, /(Я,))

(•^(Яг), • ■ ■ ,1{Щ-))-
К каждой из них можно применить предположение индукции, что-и доказывает утверждение леммы.
Доказательство теоремы 3.1. Проведем индукцию по /. Предположение индукции: теорема верна для функций Я, зависящих от менее, чем / переменных (в случае /: = 1 никаких предположений не требуется). Докажем ее для функций Я, зависящих от / переменных.
Применяя лемму 3:3 при йу = 0, мы можем считать, что для любого j выполняется /(ЯД < 0. Разложим каждую функцию Яу в сумму простейших дробей и представим Я в виде
Я(Сь •••,£) = Е- Ж (С1 + „ )тх-. . . (0 + и,)"* ’
в суммах иу € С/у, ту ^ Му где 11у - множество абсолютных значений (неположительных) величин полюсов Яу, Му - максимальный из порядков этих полюсов, Дяд = Пу=1 Достаточно доказать теорему для
фиксированных Ш2, • • ■, тгц И П2:= Р2, • • • , Щ = Ри т-е- ДЛЯ:
Ай т
я(а,..-.о) = ЕЕ (с1+щ)-дс2+рЁ2---(о+и)т' (ЗЛ1)
(далее для краткости будем писать а вместо их и /7 всесто //Д.
Члены: с Ш1 7-' 2 в сумме (3.3) сразу же представляются в нужной форме по лемме 3’2. Если /(ЯД - —Г, то тогда дополнительное условие теоремы 3.1? не выполняется, и нам не надо заботиться о коэффициентах при полилогарифмах с первой координатой 1. В этом случае члены с 7711 = 1 также представим по лемме 3.2.
Рассмотрим далее случай /(Яг) ^ —2. В этом случае Ви = 0.
Свернем сумму слагаемых из (3.3) с тп — 1 в интеграл вида
(Еиеи В,пХ)^^2{хт._1+1Хт._1+2 ■ ■ ■ ХП)Р*
[0.1]- (1 - гх 1) Пу—2(1' - XX!X2 ... Хг.)
-с1х(1х2 . . . (1хп