Модули над кольцами обобщенных матриц

• Автор: Ярдыков, Егор Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Общие свойства модулей над кольцами обобщенных матриц

§1. Модули, подмодули и фактормодули

§2. Малые и существенные подмодули

§3. Простые модули

§4. Минимальные подмодули. Цоколь модуля

§5. Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона

2 Плоские, проективные и наследственные модули над кольцами обобщенных матриц

§6. Тензорное произведение и плоские модули

§7. Проективные модули
§8. Наследственные модули
3 Наследственность колец эндоморфизмов некоторых групп
§9. Делимые группы
§10. Нередуцированные группы

§11. Расщепляющиеся смешанные группы Литература
Список обозначений
ф Ai — прямая сумма модулей ieF
А © ... ® Ап — (конечная) прямая сумма модулей ф4 А — прямая сумма t копий модуля А А1 — прямое произведение I копий модуля А А <8>л В — тензорное произведение модулей Е(А) — кольцо эндоморфизмов абелевой группы А Епбд М — кольцо эндоморфизмов ß-модул я М Q — поле или группа рациональных чисел R+ — аддитивная группа кольца R.
Rn — кольцо всех (п х п)-матриц над кольцом R Rad М — радикал Джекобсона модуля М Soc М — цоколь модуля М Ъ — кольцо целых чисел Z(п) — циклическая группа порядка п Ъп — кольцо классов вычетов по модулю п Zр — кольцо целых р-адических чисел Z(р00) — квазициклическая группа

ства:
' X' I X' ( МУ

у / мх' / у у
Следствие 4.2. Пусть К — тривиальное кольцо обобщенных мат-
( х ( Х'
риц, А — I ) — левый К-модуль. Подмодуль А! — являет-
У ) У)
ся минимальным в А тогда и только тогда, когда X' — минимальный
в X иУ = О, либо У — минимальный в У и X' — 0. □
Следствие 4.3. Пусть К — кольцо обобщенных матриц, А = X
— левый К-модулъ такой, что Ьх = 0 и Ьу — 0. Под-

( Х'
модуль А' = является минимальным в А тогда и только
У )
тогда, когда X' — минимальный в X и У — минимальный в У. В этом случае всякий минимальный подмодуль А' модуля А имеет вид хЛ _ / X' ( МУ
У ) ИХ’ ) у У
Доказательство. Надо показать, что IX / 0 и .7У ф 0. Это легко
следует из того, что Ьх = 0 и Ьу = 0. □
Следствие 4.4. Пусть К — кольцо обобщенных матриц такое,
( х
что I = И и Ь — в, А = — левый К-модуль. Подмодуль

( Х'
А' — является минимальным в модуле А тогда и только

тогда, когда X' — минимальный в X и У — минимальный в У. В этом случае всякий минимальный подмодуль А' модуля А имеет вид
х' _ ( х' ( МУ
У ) ИХ1 ) у У'
Доказательство. Если I = 72 и Ь = в, то Ьх = 0 и Ьу = 0. □