Группы автоморфизмов относительно свободных групп бесконечного ранга

• Автор: Толстых, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 189 с.

В работе исследуются алгебраические и теоретико-модельные свойства групп автоморфизмов относительно свободных групп бесконечного ранга.
Роль групп автоморфизмов структур хорошо известна. Автоморфизмы дают ценную информацию для изучения структур, выявляя их симметрии и позволяя понять их строение. Важную роль при этом играют подмножества структур (или, шире, отношения на структурах), инвариантные относительно всех автоморфизмов структуры. При изучении таких отношений теория групп часто вступает в плодотворное взаимодействие с теорией моделей. В частности, свойства семейства всех подмножеств данной структуры, определимых в логике первого порядка без параметров, — очевидным образом инвариантных относительно всех автоморфизмов, — определяют во многих важных случаях свойства и строение этой структуры [3, 58, 74].
Классификация изоморфизмов (автоморфизмов) для основных типов линейных групп над телами, полученная в классических работах Ж. Дьедонне, К. Риккарта и других авторов, обусловила появление важной работы Л.-К. Хуа и И. Райнера [60] 1951 года, в которой было найдено описание автоморфизмов групп автоморфизмов свободных абелевых групп конечного ранга (унимодулярных групп вЦп, г)).

Новые результаты об автоморфизмах групп автоморфизмов относительно свободных групп появились только примерно через четверть века после выхода работы Л.-К. Хуа и И. Райнера. Появлению этих результатов способствовал ряд гипотез Г. Баум-слага о башнях автоморфизмов групп, предложенных в начале семидесятых. В частности, он сформулировал гипотезу о том, что башня автоморфизмов свободной группы конечного ранга должна быть очень короткой и, пожалуй, наиболее известную (и до сих пор ни подтвержденную, ни опровергнутую) гипотезу о том, что башня автоморфизмов всякой нильпотентной группы без кручения должна обрываться после конечного числа шагов [8, проблема 4.9]. (Заметим, что мы допускаем, как это принято в последнее время, построение башни автоморфизмов над любой группой, а не только над группой без центра, как того требует классическое определение.)
В серии работ [46, 47, 48, 49], написанных в середине семидесятых, Дж. Дайер и Э. Форманек подтвердили некоторые из гипотез Г. Баумслага и описали башни автоморфизмов для достаточно большого класса конечно порожденных относительно свободных групп. Выяснилось, к примеру, что башня автоморфизмов неабелевой свободной группы ^ конечного ранга является настолько короткой, насколько это вообще возможно, поскольку, как показали Дж. Дайер и Э. Форманек в работе [46], группа АиД^1) является совершенной, и потому группы Аи^^1) и Аи1(Аи1(^)) изоморфны. (Напомним, что группа С называется совершенной, если ее центр тривиален, и все ее автоморфизмы — внутренние). Ключевой результат работы [46] — это утверждение о характеристичности подгруппы 1пп^) внутренних автоморфизмов (сопряжений) в группе Аи^В1).
Изучая частный случай вышеприведенной гипотезы Баумслага о башнях автоморфизмов нильпотентных групп без кручения, Дж. Дайер и Э. Форманек [47] установили,
2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
Поскольку ах — г и аї — і-1, то
і_1а(х)г = (х.г)і_1 4=4- ст(а;,г) = і(х;г)£-1. (2.4.5)
Кроме того,
а(у) = ^(£а;у-1х-1£-1) = <^(і)(р(а:у-1ж-1)^(і) = х1х~ху~ххГ1г~1. (2.4.6)
Пусть у' обозначает элемент хЬх~1у. Тогда из (2.4.6) вытекает, что а обращает у'. То же самое справедливо для всех элементов Ь' = гіг~1Ь, где 6 Є В. Суммируя, заключаем, что а — инволюция и что базис
{В С) и ({£} и {хх}) и {у1} и {Ь1 : Ь Є В} и {г} и С
является ее каноническим базисом. Формулы (2.4.5) говорят о том, что этот базис содержит блок, размер которого равен 2.
(б) Любой канонический базис <р имеет ровно один блок и непустую неподвижную часть:
<ри — и, и Є 11, ірх = аГ1,
ру = хух~1, у Є Т.
Легко построить симметрию ф такую, что произведение ірф не сопряжено произведению р с симметрией, полученной «естественным» способом, с использованием (а) и (Ь):
фи0 = По1,
фи =и~1, иєи{щ},
фх = ЩХ~1ий ,
фу = иоху^х^щ1, у Є У,