Аналоги для алгебр ЛИ некоторых утверждений из теории групп

• Автор: Сырцов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Работа состоит из пяти глав. В первых четырех главах исследуются некоторые проблемы, связанные с понятиями вербального произведения групп и вербального произведения алгебр Ли. В пятой главе приводится аналог для алгебр Ли одной групповой теоремы о вложении.
Вербальные произведения групп введены Мораном (см. [26]) и являются обобщением нильпотентных произведений групп, введенных О. Н. Головиным (см. [20]). Нильпотентные произведения групп являются, в свою очередь, обобщением широко известного понятия прямого произведения групп. Прямые, нильпотентные, вербальные произведения алгебр Ли были определены по аналогии с соответствующими групповыми понятиями.
В главе 1 изучаются некоторые вопросы, касающиеся вербальных произведений магнусовых групп. Напомним, что группа С называется магнусовой группой, если она нильпотентно аппроксимируема и факторы нижнего центрального ряда этой группы не имеют кручения. Свободные группы являются магнусовыми группами. Этот результат доказан Магнусом и Виттом (см. [21], [22], [24]). В дальнейшем было получено множество результатов подобного типа. Были поставлены следующие вопросы. 1) В каких многообразиях групп все свободные группы являются магнусовыми группами? 2) В каких многообразиях групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения?

В отношении первого вопроса известно, что

1) свободные полинилъпотентные группы являются магнусовыми группами (А. Л. Шмелькин [6]);
2) свободные группы многообразия [91с, 91с+1]> где 1ЛС - многообразие всех нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше с, являются магнусовыми группами (Э. Б. Кикодзе [11]).
Также справедливы некоторые обобщения этих результатов (см. [2], [10], [14], [15], [16]).

Особенно отметим результат М. Р. Вон-Ли и В. Тасича: свободные группы многообразия [91*, 91/], где к > 1,1 > 1, являются магнусовыми группами ([16]).

Результатов по второму вопросу меньше:

1) в многообразии всех групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения (А. Л. Шмелькин [3]);
2) в многообразии 212 всех метабелевых групп класс магнусовых %12-групп замкнут относительно операции Ж2-произведения (Д. И. Эй-делькинд [9]).
Конечно, если в многообразии 93 класс магнусовых групп замкнут относительно 25-произведения, то в многообразии 23П9!С класс магнусовых групп замкнут относительно 23 П 91с-произведения. Таким образом,
1)’ в многообразие 91с класс магнусовых Чс-групп замкнут относительно УХс-произведения (А. Л. Шмелькин [3]);
2)’ в многообразие 212 П91с класс магнусовых 212 ПУ1с-групп замкнут относительно й2 П ^с-произведения (Д. И. Эйделькинд [9]).
Ряд авторов привели примеры, показывающие, что в многообразии 21с(1)91с(2) • • • 21с(п) всех полинильпотентных групп, соответствующих последовательности с{1) с(п), где либо п > 2, либо с(1) > 1, класс магнусовых 91с(1)91с(2) • • • 91с(„)-групп не является замкнутым относительно 91с(1)91с(2) • • ■ Шс(„)-произведения (см. [9]). Возникает вопрос: верно ли, что в многообразии 2191с всех групп с абелевым (с 4- 1)-ым членом нижнего центрального ряда класс магнусовых 219!с-групп замкнут относительно 2191с-произведения? В главе 1 дается положительное решение этой проблемы.
В главе 1 также строится пример, показывающий, что [21,9121-произведение магнусовых [21,91г]-групп не обязательно является магнусовой группой. Вместе с тем, справедливо следующее обобщение сформулированного выше результата Кикодзе: [Шс, 91с+1]-произвес?емие магнусовых
2191 с-групп является магнусовой группой.
В главах 2, 3, 4 рассматриваются проблемы изоморфизма нильпо-

тентных разложений колец и алгебр Ли. Первоначально такие проблемы исследовали в теории групп. Ремак в [25] доказал, что любые два разложения конечной группы в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны, т.е. между сомножителями этих разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны. После введения О. Н. Головиным нильпотентных произведений групп, встал следующий вопрос: при каких условиях разложения группы в п-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? А. Л. Шмель-кин в [5] указал ряд условий, при которых некоторые разложения нильпотентных групп без кручения изоморфны. В. В. Лиманский в [12] доказал, что любые разложения в п-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями группы, обладающей главным рядом, изоморфны.
Мы приводим аналоги для колец Ли теорем А. Л. Шмелькина и В. В. Лиманского.
В связи с результатами работы [5] А. Л. Шмелькин поставил вопрос: верно ли, что все п-нильпотентные разложения с неразложимыми сомножителями конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения изоморфны? В частности, верно ли, что все разложения конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? В. В. Лиманский в [13], приведя соответствующий пример, дает отрицательный ответ. Мы приводим аналог этого примера для колец Ли.
В случае алгебр Ли над поле ситуация другая - на это указывает следующая теорема: любые разложения алгебры Ли С? над полем К в
прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны.
Глава 5 содержит результаты, полученные автором совместно с А. Л. Шмелькиным.
В работе [23] Магнус построил вложение группы Л/В!, где Л - свободная группа, Л - нормальная подгруппа группы Л, Л' - коммутант Л,

§4. Основная теорема
4.1. Пусть т : G —► G, т% : G2 -* G; ц 1 : Н —> G,P2 ■ Н2 G - две диаграммы нилыютентных разложений, а <рг : G —ь G,ц>2 '■ G —> G2',
■фх : G -¥ Hi,rp2 ■ G —> H2 - проекции этих диаграмм.
Пусть ai = i — 1,2,- эндоморфизмы кольца G.
4.2. Лемма. Эндоморфизмы оц, а2 являются п-идеалъными эндоморфизмами кольца G1.
4.3. Пусть кольцо Ли G является конечным и нильпотентным класса не выше п. Рассмотрим следующие ряды подколец кольца G:
4.3.1. G1Q1 2 Giaj Э • • • Э Gia'P Э • • • ,
4.3.2. Keroi Э Кега Э • • • Э Кега Э • • •
Так как G - конечное кольцо, то эти ряды стабилизируются. Поэтому найдется такое целое положительное число т, что
4.3.3. Gxa? = GlQr+1.
4.3.4. Kera = /Гега7*+1.
4.3.5. Пусть N - идеал кольца G, порожденный кольцом Giûj", т.е.
N = {Gxa?)GK
4.3.6. Пусть At : Gi —> D1, А2 : G —> D2 - такие эндоморфизмы, что KerXi = Kera71, a KerX2 = N.
4.3.7. Пусть k : D —> Z), k2 : D2 —ï D диаграммы нильпотентного произведения , a Çi : D —> D , £2 • D —ï D2 - проекции этих диаграмм.
4.3.8. Пусть = jii'PiXi - гомоморфизмы из Ht в D. Пусть N - такой гомоморфизм из G в Л, что piN = Nj &i,N& = ^iN<.
4.3.9. Пусть в = riN - гомоморфизм из Gi в D.
4.4. Лемма. При выполнении всех предположений из пунктов 4-1 и 4-3 гомоморфизм в будет изоморфизмом.
Доказательство проводиться индукцией по числу п. В следующем пункте установлена справедливость леммы при п = 1. Это послужит основанием индукции.
4.4.1. Предположим, что п = 1. Рассмотрим Кегв. Пусть х € Кегв. Тогда xtjN = 0. Следовательно, 0 = xriNÇ» = — хо/{Х{.