Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов

• Автор: Галочкин, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 165 с.

Оглавление
Введение
0.1 Обозначения и определения
0.2 Предшествующие исследования
0.3 Результаты диссертации
0.4 Дальнейшие исследования, связанные с
результатами диссертации

1 Некоторые свойства гипергеометрических функций
1.1 Точные оценки общих знаменателей коэффициентов гипергеометрических функций
1.2 Критерий принадлежности гипергеометрических функций классу Е-функций
1.3 Линейная независимость
гипергеометрических функций
2 Оценки снизу линейных форм
2.1 Оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций в
нескольких точках
2.2 Совместные приближения значений гипергеометрических функций в точках числового алгебраического поля
произвольной степени
2.3 Уточнение оценок линейных форм от значений некоторых гипергеометрических
функций
3 Точные по высоте оценки линейных форм
3.1 Некоторые неравенства
3.2 Процесс исключения

3.3 Редукция
3.4 Система приближающих линейных форм
3.5 Доказательство теоремы
3.6 Точные оценки в совместных приближениях
4 Некоторые приложения метода Зигеля-Шидловского (Е-функции, С-функции, гипергеометрические функции)
4.1 Оценки снизу многочленов от значений
алгебраически зависимых Е-функций
4.2 Приближения алгебраическими числами
решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции
4.3 Оценки снизу линейных форм от значений
гипергеометрических функций с некоторыми алгебраическими параметрами
4.4 Оценки снизу многочленов от значений
С-функций
5 Количественные результаты в методе Малера
5.1 Доказательство теоремы
5.2 Доказательство теоремы
Литература

Введение
0.1 Обозначения и определения
Пусть М, Ъ+, Z, Q, Ж и С — соответственно множество натуральных чисел, множество неотрицательных целых чисел, кольцо целых чисел и поля рациональных, действительных и комплексных чисел.
Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, К — алгебраическое числовое поле конечной степени, Ък ~ кольцо целых чисел в поле К.
Высотой многочлена называется максимум модулей его коэффициентов, а длиной — сумма модулей его коэффициентов.
Для алгебраического числа а Є К через а будем обозначать максимум модулей чисел, сопряженных числу а в поле К.
Высотой Ь(а), длиной 1(а) и степенью беда алгебраического числа а называются соответственно высота, длина и степень его канонического многочлена.
Назовем обобщенной длиной многочлена
А(х ь ... ,х3) = 2 акі
к, ...Д-„
величину
В(П(а;і

а обобщенной высотой — величину
А(хъ ... ,х8) = тах|аЙ11 |.
Через огс!/(,г) будем обозначать порядок нуля функции /() при г = 0, & через Р — степень многочлена Р.
Записи II V и Н » П ([/ Є С, У > 0) будут обозначать, что и < С{V и |и > С?У с положительными постоянными С и Сг, а запись [/хУ - одновременное выполнение этих неравенств.

Следствие 8. Пусть Я-функции /1(2)
Тогда для любого положительного числа є суиі,ествует такое число до(є, а) и любых числах 1г0,из Ъх при
Н = тах|/| > Но(є, а, д) і
выполняется неравенство

> Н~
(91)
Оценка (91) может быть улучшена только за счет числа є.
В следующей теореме устанавливается оценка многочлена от значения функции, удовлетворяющей уравнению Малера. Для упрощения выкладок и большей наглядности мы ограничимся случаем одной переменной. Однако в статье [59] рассматривался случай нескольких переменных.
Теорема 19. Пусть ф(г) — трансцендентная функция, представимая в виде ряда (15), сходящегося в круге г < И и удовлетворяю-гцая функциональному уравнению (16) с
Афг. у) = ап(г)у + аг) Є Ък[г, у], 3 = 1, 2 . (92)
Пусть далее а — алгебраическое число, такое, что О < |а| < тіп(1, Я), А2 (арк, /(ар1) Ф 0 , к — 0, 1
Пусть щ, 1(а) — соответственно степень и длина числа а, а
в = ск К(а).
Тогда для любого положительного числа є и любого ненулевого многочлена Р{х) Є Щх степени, не превосходящей д и высоты, не превосходящей Н, при Н > Н(й,а, ф(г)) справедливо неравенство
|Р(/(а))| > н~з2р{р+1)+1+£)ё , 7 = (94)