Конечные группы с плотной системой f-субнормальных подгрупп

• Автор: Закревская, Людмила Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Гомель
• Количество страниц: 112 c. : ил

ГЛАВА I. ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОБОЗНАЧЕНИЙ И

ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

§ 1„ Необходимые определения и обозначения

§ 2,. Формулировки известных результатов

Глава II. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ПЛОТНОЙ СИСТЕМОЙ

^-СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

§ 3. Общие свойства конечных групп с плотной

системой с/-субнормальных подгрупп

§ 4., Конечные группы с плотной системой

С^р/ О^р -субнормальных подгрупп

§ 5.. КонечАе группы с плотной системой

С^р! -субнормальных подгрупп
Глава III. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С -ПЛОТНОЙ СИСТЕМОЙ
П0Д1ТУПП
§ 6., Разрешимые группы с ]Р~плотной
системой подгрупп
§ 7„ Неразрешимые группы с ^-плотной
системой подгрупп
ЛИТЕРАТУРА

Одним из основных направлений в теории конечных групп является изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп. При изучении групп по заданным свойствам системы их подгрупп были выделены и описаны многие важные классы конечных групп, например, группы Миллера-Морено, группы Шмидта и другие.
В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
В связи с возникновением и развитием теории формаций большое внимание стапо уделяться исследованию конечных групп, насыщенных У-подгруппами, ^/-субнормальными или У^-абнормальными
подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков [ф] - [3] , Гашюц [4] , Картер [б] , Шмидт [б] , ['?], Хоукс [в] , [я] и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Систему подгрупп группы Сг » обладающих некоторым свойством (X , называют плотной, если для любых двух подгрупп А £■$ , из которых первая не максимальна во второй, в группе Сг существует £2-ПОДГруППа А/ , для которой А —А!-В
С.Н.Черниковым были изучены группы с плотной системой дополняемых подгрупп [ю] , а Манном [п] и В.В.Пылаевым [12] , [*13] -группы с плотной системой субнормальных подгрупп.
В монографии Л.А.Шеметкова "Формации конечных групп" [14 ] было предложено направление, содержание которого состоит в следующем: развить теорию У-субнормальных подгрупп, аналогичную

теории субнормальных подгрупп. В этом направлении Л.А.Шеметковым автору была предложена задача изучить конечные группы с плотной системой Усубнормальных подгрупп, где - непустая формация.
Решению этой задачи посвящена настоящая диссертация. Получены следующие результаты:
<[) найдены общие свойства конечных групп с плотной системой Усубнормальных подгрупп;
2) дано описание конечных групп с плотной системой ^субнормальных подгрупп в случаях, когда У - формация всех сверх-разрешимых групп, формация всех р -нильпотентных групп и формация всех р -замкнутых групп;
3) описаны конечные группы с ^-плотной системой подгрупп.
Выяснено, что понятие плотной системы Усубнормальных подгрупп наиболее эффективно в тех случаях, когда известно строение минимальных не У-групп.
В диссертации рассматриваются только конечные группы.
Основными понятиями теории формаций являются понятия У—корадикала, а также У-нормальной и <Уабнормальной подгрупп. Приведем вначале эти определения. Пусть У - непустая формация. Обозначим через и назовем У-корадикалом группы СА пересечение всех тех нормальных подгрупп М. из (X , для которых й/Ме^ . Максимальная подгруппа Н группы Сг называется
У-нормальной, если И — Ст^, и У-абнормальной, если И. Подгруппа $ группы О называется У-субнормальной в СА , если существует максимальная -цепь
у которой ^ У-нормальна в
для любого С>/ {
Важно заметить, что если У - формация всех сверхразрешимых Групп и подгруппа В У-субнормальна в О , то в группе (л

Итак, мы показали, что группы типа!) - 5) являются группами с плотной системой У-субнормальных подгрупп. Теорема доказана.
Теорема 4.5. Пусть сГ= ^ , &(й)= {рлул} , где Р » ^ ^ ~ различные простые числа. Группа Сг » не принадлежащая V , тогда и только тогда является группой с плотной системой «/-субнормальных подгрупп, когда она является группой одного из следующих типов:
Л.) С=Ох^(йр ) и имеет точно три класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются следующие подгруппы: а/*г - группа Миллера-Морено, , в которой
является максимальной подгруппой, , где О. - максимальная подгруппа из Сг^ ;
2) группа порядка р Ч. £ , не являющаяся
группой Фробеииуса и имеющая точно три класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются следующие подгруппы:^^ , СгпСг<, - либо группа Миллера-Морено, либо группа с г г ъ
типа 3) из теоремы 4.4, - группа типа 4) из теоремы 4.4;
группа Фробениуса порядка р А£ £ и имеет точно три класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются следующие подгруппы: , СгСр -
либо группа Миллера-Морено, либо группа типа 3) из теоремы 4.4, а„аг - либо группа Миллера-Морено, либо группа типа 3) из теоремы 4.4.
Доказательство. Необходимость. Пусть Сг - группа с плотной системой «/"-субнормальных подгрупп. Рассмотрим вначале группу Сг , у которой существует /^абнормальная максимальная подгруппа НрсГ . Тогда по лемме 4.3 РСНр^Нг -группа Миллера-Морено. Так как ЫОЬз , то /&-'///=?* н Гфр , . Отсюда следует, что Нр~Стр , . Применяя лемму