Бесконечные дважды транзитивные группы подстановок и группы с инволюциями

• Автор: Сучков, Николай Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
'. Введение
1. Группы ограниченных подстановок
1.1. Факторизация группы С
1.2. О подгруппах группы С?
1.3. Связь между I71 и С? •
2. Группы Цассенхауза
2.1. Конечность некоторых точно дважды транзитивных групп
2.2. Характеризации группы Ь^С}) над локально конечным полем <5 характеристики
3. Локально конечные группы Судзуки
3.1. Вполне Л-факторизуемые группы
3.2. Локально конечные 2-группы Судзуки
3.3. Строение группы 5о
3.4. Характеризация локально конечной
группы Судзуки 5,г(<2)
4. Приложения к группам с инволюциями
4.1. Группы с заданными сильно изолированными и сильно
вложенными подгруппами
4.2. Периодические группы с абелевыми централизаторами
инволюций
4.3. Число пар порождающих групп £2(2") и 5^г(22А:+1)
Литература

Введение
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, замечаний, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обозначения либо стандартны [14, 8], либо оговариваются.
Диссертация посвящена вопросам теории бесконечных групп с инволюциями. В первой главе вводятся и изучаются группы ограниченных подстановок. Во второй и третьей главах исследуются группы Цассенхауза и локально конечные 2-группы Судзуки. В четвёртой главе изучаются группы с сильно изолированной подгруппой и периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций.
Особая роль инволюции в теории групп известна давно. Две инволюции всегда порождают группу диэдра. В работах Р. Брауэра (50-е годы прошлого века) была установлена глубокая взаимосвязь между строением конечной группы и централизаторами её инволюций ([8][стр. 10]). В 1962 г. Д. Томпсон и У. Фейт [60] доказали, что любая конечная неразрешимая группа содержит инволюцию. Эти результаты индуцировали многочисленные работы по классификации конечных простых групп в терминах строения централизаторов инволюций.
В группах Новикова-Адяна [21, 1] любая конечная подгруппа является циклической, а А.Ю. Ольшанским [22, 23] построены бесконечные простые периодические группы С, в которых все собственные подгруппы циклические. При этом 7г(Сг) может содержать любое простое число, кроме 2. Поэтому теорема Фейта-Томпсона и многие другие результаты теории (локально) конечных групп не оставляют следа в классе периодических групп. С другой стороны, в 1972 г. В.П. Шунков [52] доказал почти разрешимость периодической группы с конечным централизатором инволюции. Появилась надежда, что некоторые теоремы о конечных группах с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы (см., например, вопросы 4.75, 10.76, 10.77, 11.11, 11.13. 12.100, 15.54, 15.82, 15.87, 15.100,

15.101 из Коуровской тетради [20]).
Первое описание периодической группы (7 с заданными бесконечными централизаторами инволюций получено В.Д. Мазуровым [18], а также независимо А.И. Созутовым и диссертантом [33]. Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в группе (7 является элементарной абелевой подгруппой. Более того, результат оставался справедливым и для любой группы, содержащей конечную инволюцию (инволюция г группы С? называется конечной, если па < оо для каждого д <2 (7). Последующие результаты в этом направлении определялись достижениями в изучении групп Цассенхауза (.2-групп), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трёх точек.
Д. Горенстейн ([8][стр. 157]) отмечает, что ’’теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп”. В свою очередь, 2-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные 2-группы полностью описаны X. Цассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([8], стр. 378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевыми и диэдральными силовскими 2-подгруппами, С'А’-групп (групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов).
В теории периодических групп с инволюциями классификация 2-групп с локально конечным стабилизатором точки имела бы не меньшее значение. Но лишь в последние годы здесь произошёл определённый сдвиг, благодаря работам Т. Петерфалви [70], В.Д. Мазурова [18],
А.И. Созутова и диссертанта [33]-[45]. Если в 2-группе стабилизатор уже двух точек тривиален, то она называется точно дважды транзитивной группой. Класс точно дважды транзитивных групп тесно связан с проективными плоскостями и почти-полями ([47], глава 20). Конечные точно дважды транзитивные группы изучены К. Жорданом [68] и X. Цассенхаузом [78]. Результатов же по бесконечным точно дважды транзитивных группам совсем немного. В.Д. Мазуров сформулировал два вопроса о таких группах в Коуровской тетради (11.52, 12.48) и доказал существование регулярного абелева нормального делителя в точно дважды транзитивной группе, если её стаби-

Лемма 2.8. Отображение ф биективно на Я.
Доказательство. В силу лемм 2.3 - 2.7 достаточно установить, что х — £, если ф[х) = ф{£). Действительно, пусть = у1х, Ш = ггя, где £ Н, у,г,г,в £ Н и ф(х) — гу = ф{ф) = вг. Тогда х1г 1 = гуг = яг/ = Р-1, ж,г '** = (, и в силу (2.1) имеем iz~1si £ НПНг — 1. Следовательно, г = 5 и х = 1 Лемма доказана.
Лемма 2.9. Произведение двух различных инволюций из (7 есть регулярный элемент.
Доказательство. Если это не так, то найдутся инволюции к, у такие, что к ф и и кь £ Я. Тогда Нк П Я ф 1 и по (2.1) к £ Н. Аналогично у £ Я. Но это противоречит лемме 2.3. Лемма доказана.
- Лемма 2.10. Если ф — подстановка множества Я, то группа (7 обладает регулярным абелевым нормальным делителем и.
Доказательство. Пусть а £ Н. По условию леммы существует такой элемент /г £ Я, что ф(Ь) — а. Значит, г/гг = бгс, сЬ = а и сг’/ггс-1 = сЫ = аг. Следовательно, элемент Нгс~1 = аг стабилизирует точку агс~1 =7 € П. Таким образом, каждый элемент вида аг, где а £ Н, стабилизирует некоторую точку из П. Поэтому, если щ — регулярный элемент группы (7, то со = дгг, где у, г € Я (лемма 2.1), о/ 1 = гдг и при этом гд ^ Я.
Случай 1: Я — группа без инволюций. Тогда гд = 1 — единственная возможность. Значит, со — инволюция и множество И всех регулярных элементов группы <7 совпадает с множеством всех её инволюций. В силу леммы 2.9 Я = 3 и {1} — искомый регулярный абелевый нормальный делитель группы О.
Случай 2: Я содержит инволюцию у. Тогда гд ф 1, поскольку любая инволюция сопряжена с у и стабилизирует некоторую точку из П (лемма 2.2). Поэтому гд — j, т.е. шТ 1 = уг, со — }ггт = угг {Г = j по лемме 2.3). Значит, учитывая лемму 2.9, М = {уга|а £ Я} — множество всех регулярных элементов группы (7. Очевидно, что со~х является регулярным элементом. Следовательно, М — М~х.