Вложения однородных пространств и геометрическая теория инвариантов

• Автор: Аржанцев, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 244 с. : ил.

Оглавление
Введение

Постановки задач и известные результаты

Краткое содержание диссертации

Используемые обозначения и соглашения

1 Некоторые результаты теории алгебраических групп преобразований

1.1 Алгебраические группы преобразований и однородные пространства

1.2 Классификация аффинных однородных пространств сложности один

1.3 Стягивания аффинных сферических многообразий

1.4 Линейные действия со сферическими орбитами

1.5 Стабильность диагональных действий

1.6 Критерий Мацусимы и инвариантные идеалы
2 Аффинные вложения однородных пространств
2.1 Аффинно замкнутые однородные пространства
2.2 Модальность вложений
2.3 Каноническое вложение
2.4 Стабильность действий подгрупп на аффинных вложениях .
2.5 Автоморфизмы аффинных вложений
2.6 Алгебры с конечно порожденными инвариантными подалгебрами
2.7 Инвариантные алгебры на однородных пространствах компактных групп Ли

3 Комбинаторные методы в геометрической теории инвари-
антов
3.1 Необходимые сведения о хороших факторах
3.2 Линеаризованные дивизоры Вейля и квазипроективные факторы
3.3 GIT-веер для действия редуктивной группы на аффинном многообразии
3.4 А2-факторы для аффинных факториальных многообразий .
3.5 Мультиградуированные алгебры и характеризация GIT-Beepal
4 Кольцо Кокса нормального алгебраического многообразия
4.1 Дивизориальные алгебры и относительные спектры
4.2 Кольцо Кокса для многообразия со свободной группой классов дивизоров
4.3 Кручение в группе классов дивизоров
4.4 Кольцо Кокса однородного пространства
4.5 Реализация Кокса для аффиштых многообразий
4.6 Подъем автоморфизмов
5 Вложения с малой границей для однородных пространств
5.1 Проективные вложения с малой границей
5.2 К-вложення с малой границей
5.3 А2-максимальные эквивариантные вложения с малой границей
5.4 Примеры
5.5 Геометрия вложений с малой границей
6 Приложения в геометрической теории инвариантов
6.1 Соответствие между хорошими подмножествами
6.2 GIT-веера для диагональных действий
6.3 Соответствие Гелъфанда-Макферсона
6.4 Кольцо Кокса глубокого GIT-фактора

Введение
Диссертация посвящена теории алгебраических групп преобразований, теории открытых эквивариантных вложений однородных пространств алгебраических групп и геометрической теории инвариантов. При этом мы преследуем несколько целей, среди которых - развить теорию аффинных вложений однородных пространств и применить ее результаты к описанию всех вложений данного однородного пространства с малой границей, описать все открытые инвариантные подмножества данного (^-многообразия, допускающие хороший фактор относительно действия группы G, изучить свойства такого инварианта нормального алгебраического многообразия как его кольцо Кокса. Попутно мы получаем ряд классификационных результатов и характеризаций для однородных пространств и представлений аффинных алгебраических групп.
Постановки задач и известные результаты
Всюду далее основное поле К предполагается алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Пусть G — аффинная алгебраическая группа и X — алгебраическое многообразие, снабженное регулярным действием G х X —т- X группы G. В этом случае будем говорить, что X является G-многообразием. Аффинная алгебраическая группа G называется редуктпивной, если G не содержит нетривильных нормальных уни-потентных подгрупп или, эквивалентно, каждый рациональный (?-модуль вполне приводим.
Пусть Н — замкнутая подгруппа аффинной алгебраической группы G. Согласно теореме Шевалле, однородное пространство GjH несет каноническую структуру квазипроективного многообразия, для которой транзитивное действие грзшпы G левыми сдвигами регулярно. Важной задачей является описание геометрии многообразия G/H в терминах теоретикогрупповых свойств пары (G,H). Известно, что однородное пространство GjH проективно тогда и только тогда, когда Н — параболическая подгруппа в G. Конструктивное описание обозримых подгрупп Н, т.е подгрупп, для которых однородное пространство GjH квазиаффиино, дано в работе A.A. Суханова [33]. Известный критерий Мацусимы, доказанный независимо Ю. Мацусимой [103] и А.Л. Онищиком [24] в комплексноаналитической категории, а затем А. Бялыницким-Бирулей [48] в алгебра-

Рассмотрим пару (son+m ®som,som®son). Здесь представление изотропии имеет вид т = VtUl ® ф ad(som). Отсюда з = s о,с зоп при п>ти5 = 0 при п < т. Таким образом получаем валентную компоненту (sOm+l,SOm) И 1-ВаЛвНТНуЮ КОМПОНвНТу (лОп+з,50з ® SO,,).
Рассмотрим пару (sp2(n+m) 0 sp2ni, зр2т 0 зр2п). Представление изотропии имеет вид т = VUJl 0 ® ad(sp2m). Получаем s = с ® зр2»-2 при
т = 1, и s — зр2(п-т) Я sP2n при т > 2 (з — 0 при п < т). Отсюда имеем валентные компоненты (лр2(п+2) 1 £Р4 0 sp2n), (sp2(y+r,SP2 0 SP‘2n) И 1-валентную компоненту (spg,spQ ф зр2).
В сцепке (лс»7 ф G2-, G2) представление изотропии имеет вид т = V—l ® ad(G2). Здесь з = 0 и компонента 1-валептна.
Рассмотрим пару (G2 ф slj,sl£). Здесь з12 вложена в G2 "по длинным корням следовательно, короткие корни линейно независимы на подалгебре Картана в з1з, з = 0 и компонента 1-валентна.
Тем самым найдены все валентные и 1-валентные простые компоненты для пар (g, (j) сложности < 1, где g проста.
Этап 2. Сейчас нам будет удобно несколько отступить от индукции по параметру s. Мы укажем все неразложимые насыщенные пары сложности один, полученные из пар, отвечающих простым алгебрам, сцепками по компонентам, изоморфным sl2.
Из замечания 1 и списка всех валентных и 1-валентных компонент, изоморфных sl2 (или из явного вида представления изотропии) следует, что во всех парах списка кандидатов (этап 1), где подалгебра t) имеет компоненту, изоморфную sl2, проекция на нее подалгебры з нулевая за исключением пар
1) (sln+2,sl2 ®sln ® с), П > 1, (з1п+2,з12 0 з1п), П > 2, (Sp2n,sl2 фз12 ф sp2n—À)i п > 3 — здесь проекция одномерна;
2) {зр2(п+1),з12 ®зр2п) — здесь проекция сюрьективна.
Замечание 1.14 и только что указанная информация о проекциях позволяют найти все пары сложности 1, полученные из пар (g, ()) с простой g сцепками по компонентам sl2 — получаем пункты 1--22 таблицы 4.
Этап 3. Несложные вычисления, основанные на соображениях размерности и явном виде представления изотропии, показывают, что все неэлементарные сцепки по валентным и 1-валептным компонентам, отличным от sl2, приводят к парам сложности больше единицы.
Вносим в таблицу 4-4 пункты 24 29, отвечающие найденным ранее 1-валептным компонентам.
Этап 4- Перейдем к перечислению валентных и 1-валентных компонент, отличных от з12, в парах сложности < 1 при s = 2. Здесь нужно рассматривать лишь те компоненты, которые были валентны либо 1-валентны в парах, отвечающих простым алгебрам, сцепкой которых была получена данная пара.