Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр и групп

• Автор: Красильников, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 c. : ил

ГЛАВА I

§ I. Формулировки результатов и предварительные

сведения

§ 2. Доказательство теоремы I*

ГЛАВА II

§ I. Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения

§ 2. Теорема 21 : редукция

§ 3. Доказательство леммы 2.5

ГЛАВА III

§ I. Формулировка и обсуждение реультата, предварительные сведения

§ 2. Доказательство теоремы

§ 3. Доказательство леммы 3.4
ЛИТЕРАТУРА

Теория многообразий алгебр Ли и теория многообразий групп -сравнительно молодые области современной алгебры, изучающие алгебры Ли и группы с точки зрения тождеств, которые выполняются в них. Бремя появления теории многообразий групп относится к 30-м годам текущего столетия, а период наиболее интенсивных исследований в этой области охватывает последние 20-25 лет. Первые работы, посвященные собственно теории многообразий алгебр Ли, появились в 1967-1968 годах, хотя отдельные крупные результаты, которые можно отнести к этой теории, были получены раньше.
Как в теории многообразий алгебр Ли, так и в теории многообразий групп одно из центральных мест занимает вопрос о конечной базируемости тех или иных многообразий, иногда формулируемый также как вопрос о конечности базиса тождеств определенных алгебр Ли или групп. Приведем некоторые из полученных в связи с этим в теории многообразий алгебр Ли результатов. Первые примеры многообразий алгебр Ли над полем характеристики , не являющихся конечно базируемыми, построил М.Воон-Ли В указанных гол многообразиях каждая алгебра Ли центрально-метабелева.
В.С.Дренски и 10.Г.Клейман (не опубликовано) независимо обобщили результат М.Воон-Ли на случай, когда основное поле имеет произвольную конечную характеристику. Ими были построены примеры многообразий алгебр Ли с нильпотентным ступени р коммутантом над полем характеристики р , не являющихся конечно базируемыми. Отметим, что вопрос о существовании многообразий алгебр Ли над полем характеристики 0 , не допускающих конечного базиса тождеств, на настоящий момент остается открытым.

Если В.С.Дренски £Г] и Ю.Г.Клейман обобщили результат М.Воон-Ли £^|, то И.Б.Воличенко £зJ недавно существенно уточнил его. Й.Б.Воличенко указал в многообразии центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики ^ подмногообразие, не допускающее конечного базиса тождеств и являющееся наименьшим среди центрально-метабелевых многообразий с этим свойством, ото подмногообразие - первый известный пример почти конечно базируемого многообразия алгебр Ли ^т.е. многообразия, не допускающего конечного базиса тождеств, все собственные подмногообразия которого, однако, конечно базирует)
В.С.Дренски [2] построил пример конечномерной алгебры Ли с нильпотентным коммутантом над бесконечным полем конечной характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств. В случае бесконечного поля характеристики О, такой пример содержится и в работе М.Воон-Ли М . Отметим, что конечномерная алгебра Ли над конечным полем конечна, а потому в силу известного результата Ю.А.Бахтурина и А.10.Ольшанского £4^ имеет конечный базис тождеств.
Наряду с указанными, были получены результаты и иного характера. М.Воон-Ли заметил, что реззпяьтат Д.Коэна £5^ о конечной базируемости метабелевых многообразий групп может быть перенесен на метабелевы многообразия алгебр Ли. Затем также М.Воон-Ли . доказал, что тождества любого многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики ^ ^ тлеют конечный базис. Позже Р.Брайнт и М.Воон-Ли И показали, что над полем характеристики ^ тождества каждой алгебры Ли с нильпотентным ступени ^ % коммутантом также имеют конечный базис. Пос-

если существует такое, что
Нам потребуется
Лемма 3.1. [і9] Если (5,<) - вполне предупорядоченное множество, то (ПЗ), «ф)
также
вполне предупорядоченно.
Пусть и (Т,<г?) - предупорядоченные
множества; определим на предпорядок *Т))’
полагая
если
, щь'є т.
Легко доказывается (и доказана, например, в
Лемма 3.2. Если (Я ^)и СЯ 4Т)
вполне предупорядоченные множества, то
также вполне предупорядоченно.
При доказательстве теоремы 3 мы будем без специальных оговорок пользоваться некоторыми свойствами пополнений нильпо-тентных групп без кручения (они могут быть найдены, например,