Группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряженных с ним элементов

• Автор: Кисляков, Валерий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия и предварительные результаты

1. Элементы теории графов

2. Энгелевы элементы в группе

3. Условия, при которых группа будет черниковской

4. Черниковские автоморфизмы

2 Строение локально конечного графа в бесконечных группах

1. Конечность связных компонент

2. Группы с инволюциями

3. Доказательство теоремы

4. Пример бесконечного связного локально конечного графа
3 Локально нильпотентные группы
1. Доказательство теоремы
2. Действие на абелевой нормальной подгруппе
3. Локально-конечные р-группы
Список литературы

Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность профессору В.В.Беляеву за постановку вопроса и введение в тему исследований.
Автор признателен профессору А.И.Созутову за научное руководство работой над диссертацией.
Автор благодарит профессора В.И.Трофимова за предоставленную помощь в построении контрпримера.

Введение
Ситуация, когда некоторый элемент а группы С? перестановочен лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов в теории групп встречается как критическая при построении бесконечной абелевой подгруппы в С. В диссертации эту ситуацию мы рассматриваем как одно из условий конечности для бесконечных групп. Оно выполняется в группах, которые удовлетворяют давно и успешно применяемым условиям конечности. Таким, например, как конечность централизатора элемента С с (а). Для таких групп получены известные результаты [3], которые мы используем в диссертации. Наше условие дает более слабое ограничение на строение группы и получить с помощью него аналогичные результаты, скорее всего, невозможно.
Пусть а — ТС-элсмснт группы С, т.е. С : Сд{а)| < оо. Ясно, что тогда а перестановочен лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов. Для некоторых классов групп справедливо обратное утверждение (например, для конечно порождённых нильпотентных групп, следствие 1). Поэтому вопрос о том, когда элемент а, для которого |СД(а) П ас| < ос является ^С-элсментом относится к задачам для наших дальнейших исследований.
Более близкое условие конечности ввёл В.П.Шунков в своей статье [14]. Пусть а есть конечно вложенная инволюция в группе С?, т.е. множество дСс(а) П а?аР конечно для всех д € С. Нетрудно увидеть, что тогда и
С помощью теоремы 3 докажем конечность связных компонент локально конечного графа перестановочности в некоторых группах с инволюциями
Теорема 4. Пусть С — группа, 1Сб - класс сопряэюёпных инволюций. Если С(С,Х) — локально конечный граф без треугольников и Г — его некоторая связная компонента, любые две вершины которой порождают конечную группу, то связные компоненты графа С{(3, X) конечны.
В доказательстве теоремы используются известные свойства группы диэдра, порождённой двумя инволюциями.
Доказательство. Поскольку связные компоненты графа С{(3,Х) сопряжены в группе С, то из конечности Г следует конечность всех связных компонент С(0,Х). Поэтому далее мы предполагаем, что граф С (С, X) связен и С(С,Х) = Г. Пусть х & X. Каждая пара различных инволюций из Г(ж) порождает конечную группу диэдра. Покажем, что произведение любых двух различных инволюций из Г(ж) имеет нечётный порядок. Если у, г £ Г(ж) и у ф х, то уг ф 2 — по условию теоремы. Пусть уг есть чётное число. Тогда в группе диэдра (у, г) найдётся инволюция уЬ, Ь £ (у%), которая перестановочна с у и сопряжена в (у, г) либо с у, либо с г. Т.е. уЬ 6 X. Т.к. уЪ перестановочна х и уЬ ф х, то инволюции х, у, уЬ составляют треугольник в графе Г. Получаем противоречие с условием теоремы. Т.о., для любых элементов у, г, у ^ 2 из Г(ж) порядок уг есть нечётное число, и, следовательно, все инволюции из Г(ж) сопряжены в группе (X). Поскольку х — произвольная вершина графа Г то доказано следующее утверждение: для любого х £ X инволюции из Г (а;) сопряжены в группе (X).
Пусть Н = (X). Из вышеизложенного следует, что все вершины у £ X для которых расстояние с/р(ж, у) есть чётное число, принадлежат Н-