Непрерывность операций на полугруппах и их обобщениях

• Автор: Филипова, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 80 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

ГЛАВА I

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ГЛАВА II

БИНАРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ С ТОПОЛОГИЕЙ

§ 2.1. Топологические свойства отображений

Г|(х, у) = (х, ху) и 8{х, у) = (ху, у) в полугруппах и группах с топологией

§ 2.2. Полугруппы, наделенные равномеризуемой топологией
§ 2.3. Непрерывность полугрупповой операции в правой [левой] группе
§ 2.4. Вложение полугрупп с топологией в топологические группы
§ 2.5. Инверсные полугруппы с топологией
ГЛАВА III
«-ПОЛУГРУППЫ С ТОПОЛОГИЕЙ
§ 3.1. Непрерывность п-арной операции в «-группе
§ 3.2. Левые идеалы и-полугрупп с топологией
§ 3.3. Вложение и-полугрупп с топологией в топологические группы
§ 3.4. «-Полугруппы с топологией,
являющиеся производными от бинарных полугрупп
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Общая топология, как раздел математики, исследующий идеи непрерывности, в соединении с алгеброй составляет основу современного раздела математики — топологической алгебры. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при соединении понятий группы [полугруппы] и топологического пространства возникают новые математические понятия — топологическая группа [полугруппа].
Теория полугрупп тесно связана не только с теорией групп, теорией колец, но и другими областями математики: дифференциальной геометрией, функциональным анализом, алгебраической теорией автоматов и др. Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп.
Как известно, в общем случае из непрерывности н-арной операции
Ф:X" —»X (п> 2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов. Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [59]. Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см. работы 19, 22].

Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л.Б. Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В.В. Мухин, А.Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов.
Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств.
Наряду с бинарными полугруппами в работе изучаются /7-полугруппы с топологией. «-Группы и //-полугруппы имеют особые свойства, отсутствующие у топологических бинарных групп и полугрупп, изучение которых является одной из основных задач теории топологических /7-арных систем.
Таким образом, целью работы является исследование взаимосвязи алгебраической и топологической структур на полугруппах и /7-полугруппах,

§ 2.4. Вложение полугрупп с топологией в топологические группы
Основным результатом этого параграфа является теорема 2.4.4, которая обобщает теорему В.В. Мухина о продолжении топологии с подполугруппы, являющейся системой образующих группы, до топологии на группе, согласованной с групповой операцией, на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией [23]. В качестве следствия теоремы
2.4.4 получаем результат, доказанный В.В. Мухиным в [23].
Теорема 2.4.6 устанавливает возможность топологического вложения полутопологической полугруппы в полутопологическую группу при условии топологического вложения некоторого идеала данной полугруппы. Следствием данной теоремы является необходимое и достаточное условие топологического вложения полутопологической полугруппы в локально компактную топологическую группу.
В теореме 2.4.1 раскрывается значение отображений г|(х,у) = (х,ху) и б(х, у) = (ху, у) в задаче топологического вложения полугруппы с топологией, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу.
Алгебраическое вложение р полугруппы X с топологией хх в топологическую группу (0,Т(у ) называется топологическим вложением X в б, если оно непрерывно (т.е. для любого открытого множества V е х0 множество р~х(У) ехх)и обратное отображение непрерывно (т.е. для любого открытого множества и е хх существует открытое множество V е хс такое, что р(и) = р(Х) пУ). Если р(Х) открыто в О, то говорят, что X топологически вкладывается в О в качестве открытой подполугруппы.
Теорема 2.4.1. Пусть X — полугруппа, алгебраически вложимая в группу, т — отделимая топология на X. Для того, чтобы (X, х) топологиче-