Автоморфизмы расслоений на коники

• Автор: Цыганков, Владимир Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Оглавление
Глава 1. Введение.
1.1. История поставленных задач.
1.2. Описание диссертации и основные результаты.
Глава 2. Предварительные (известные) результаты и метод
исследования.
Глава 3. Конструкции уравнений и метод исследования.
3.1. Первая конструкция.
3.2. Вторая конструкция.
Глава 4. Случай К§ = 4.
4.1. Случай, когда —Ад обилен и выполнены условия первой
конструкции.
4.2. Случай, когда — К$ обилен и выполнены условия второй
конструкции.
4.3. Случай, когда дивизор —Кд не является обильным.
Глава 5. Случай Кд = 2.
5.1. Случай, когда дивизор —Ад численно эффективен и
выполнены условия первой конструкции.
5.2. Случай, когда дивизор — Кд численно эффективен и
выполнены условия второй конструкции
5.3. Случай, когда дивизор —Ад не является численно
эффективным.
Глава 6. Случай Кд = 1.
6.1. Случай, когда выполнены условия первой конструкции.
6.2. Случай, когда выполнены условия второй конструкции.
Литература
Приложение А. Публикации по теме диссертации

Глава
Введение.
1.1. История поставленных задач.
Изучение групп бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий является фундаментальной и наиболее важной задачей алгебраической геометрии. Эта задача на протяжении длительного времени привлекала внимание многих математиков. В настоящее время она привела к появлению программы Мори - одного из основных инструментов современной бирациональной геометрии. Исторически, изучение групп бирациональных автоморфизмов было начато с наиболее простейшего класса алгебраических многообразий, многообразий являющихся рациональными.
Рассмотрим проективное пространство Рп над произвольным полем К. Группой Кремоны Сг„(1Г) называется группа его бирациональных автоморфизмов. Название было дано в честь великого итальянского математика Луиджи Кремоны, который первым стал изучать эту группу.
Группа СгДГС) устроена довольно просто и была изучена еще в XIX веке. Действительно, пусть X - неособая неприводимая кривая и АиДХ) - группа автоморфизмов X. Тогда любое бирациональное отображение / £ Внг(Х) продолжается до автоморфизма / £ АиДХ). Таким образом,
Группы Сгп(/С) при п > 2 устроены гораздо сложнее. В настоящее время наиболее полно изучен лишь случай п = 2. С этого момента в работе мы будем рассматривать только группу Сгз (ГС) и ее подгруппы. Историю вопроса следует начинать с работы М.Нетера [26]. Было доказано, что группа Сгг(С) порождена подгруппой АиДР2) ~ РСЬ(3,<С) и стандартной квадратичной инволюцией т, записываемой в однородных координатах в виде
Сгг(К) ~ АиДР1) ~ РвЬ{2,К).

Идея доказательства заключается в следующем. Пусть х '■ Р2 —+ Р2 - бирациональное отображение. Изучим особенности линейное системы 77 = х-1С?(1) - собственного прообраза линейной системы прямых на Р2. Если X не является изоморфизмом, то 77 имеет степень п = п(х) = п(77) > 2, а также имеет базисные точки рх,... ,рк (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие). Кратности?^ в этих точках равны соответственно щ,..., ?;/с. Можно считать, что ъц > ... > г-д. Например, для описанного выше отображения т степень равна 2. Соответствующая линейная система имеет базисные точки (1 : 0 : 0), (0:1: 0) и (0 : 0 : 1). Все кратности равны 1. Пусть С, С?_ £ 77 - общие кривые. Заметим, что вне базисного множества системы 77 кривые С и Сг пересекаются в одной точке, так как этим свойством обладают прямые вР2. Индекс пересечения С и С-1 равен
Сг-С2 = п2 = 1 + ]Г>2.

Так как кривые из линейной системы 77 рациональны и неособы вне точек рх,... ,рк, то

(п - 1)(п - 2) = ^гфг- - 1).

Отсюда следует, что
VI + У2 + Уз > П.
Если точки Р,Р2,Рз лежат на Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартной квадратичной инволюцией т, связанной с этими точками
X1 = х о т : Р2 —Р2.
Заметим, что степень п(х') равна количеству точек пересечения вне точек Р,Р2,РЗ общей кривой С € 77 с КОНИКОЙ С}, проходящей через Р,Р2,РЗ, ТО есть
п(х!) — 2п(х) - VI - У2 - У2 < п(х)-
Таким образом, степень х' меньше степени х■ Продолжая таким образом разложим отображение х в композицию стандартных квадратичных инволюций. Осталось заметить, что две квадратичных инволюции с центрами в разных тройках точек на Р2 сопряжены элементом группы Аи1;(Р2).

если ТОЛЬКО рфф, —Н) — Рг(ФД1)) г = 0,1, 2. Но тогда очевидно, что точки ветвления имеют вид £о/П = с) —с, с?, —с?, с, (1 ф 0. Как и выше получаем противоречие с теоремой 4.1.3. Пусть /3 = —1. Здесь возможны два случая. В первом случае имеем й(£о, —Н) — й(£о>П); * = 0, 2, рДф/Н) = офФь а Ф 0. Во втором случае имеем 5,- ф 0, г = 0,2, Р1^0,~й) - рфкФг)- Докажем, что второй случай сводится к первому. Проективной заменой х'0 = хо-фво, х[ — Х1^/з2 кривая С приведётся к виду
Шхо + Рг^о,Н)4Ж1 + *0*1®? = о, ^(*0, -*1) = р'х(*о,Ь).
Далее проективной заменой — х'а+гх, х'{ = гх'0+х этот случай
сводится к первому.
Выясним, когда в первом случае у кривой С существуют две точки ветвления, лежащие на одной прямой. Рассмотрим отображение
/ : (<о : И) Н> (ро(*сь*1) : рД*о, И) : Рг(*0Д1))
из Р1 в Р2. Очевидно, что когда линейная оболочка форм Ро(*о,*1)) Р1(*0;* 1), Р2(*сь*1) наД полем С совпадает с линейной оболочкой форм £д, <о^1, <1, отображение / взаимно однозначно. Если это выполнено, то ясно, что никакие две точки ветвления не могут лежать на одной прямой. Легко проверить, что в этом случае уравнение кривой С приводится к тину II. В оставшемся случае тривиальной заменой переменных уравнение кривой С приводится к виду
(*0 + 4)4 + 2а£0*1®о®1 + (<§ + 4)х — 0.
Но тогда очевидно, что точки ветвления имеют вид *„/<1 — с, —с, й, — <1, с, с? Ф 0. Как и выше получаем противоречие с теоремой 4.1.3.

Сведения, полученные в теоремах 4.1.3 и 4.1.4, позволяют описать группы АиЬ(Б,ф). Результаты элементарных вычислений представлены в таблице 2.
Формулируя полученные результаты, получаем теорему 4.1.1.