О распределении значений коротких арифметических сумм

• Автор: Тимергалиев, Ирек Саматович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

I Моменты арифметических сумм

§ 1 О моментах аналогов сумм Клостермана

§ 2 О моментах сумм характеров абелевых групп

§ 3 О моментах неполных сумм Гаусса

§ 4 О моментах аналога дзетовой суммы

§5 О моментах короткой показательной рациональной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования

II О распределении значений арифметических сумм

§ I О распределении значений аналогов сумм Клостермана

§ 2 О распределении значений сумм характеров абелевых групп

§ 3 О распределении значений неполных сумм Гаусса
§4 О распределении значений аналога дзетовой суммы
§ 5 О распределении значений короткой показательной рациональ-
ной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования
III О распределении абсолютных значений специальной арифметической суммы

§ 1 О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Одним из объектов её исследования является распределение значений сумм арифметических функций. Значения некоторых из них будут распределены по различным вероятностным законам (нормальному, показательному и др.).
Данные исследования были начаты в 1952 году Г. Давенпортом и П. Эрдешем [84]. которые доказали, что значения «коротких» сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону. Ю. В. Линник и И. П. Кубилюс [54]-[56] продолжили исследования в этом направлении.
В. Н. Чубариковым [28],[38],[40] в конце 90-х годов были поставлены задачи о распределении значений классических тригонометрических сумм, таких как коротких сумм Гаусса, аналогов сумм Клостермана, сумм характеров Дирихле по простым числам, сумм коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте по «сдвигам» интервалов суммирования. В решении этих задач приняли участие Э. К. Жимбо, Р. Н. Бояринов, И. С. Нгонго и др. К этому же направлению исследований относится настоящая диссертация.
Глава 1 настоящей диссертации посвящена асимптотическим формулам четных и дробных моментов арифметических сумм.
В § 1 рассматриваются аналоги сумм Клостермана. Пусть р — простое число, х — натуральное число. Рассмотрим сумму
где к = 1пр, а суммирование ведется по простым числам д, и д* определяется

§ 5. О моментах короткой показательной рациональной тригонометрической суммы по «сдвигам» интервалов суммирования
Рассмотрим сумму вида 5^(ж; к) ~ ^ е2эт4"- и нормированную случай-
■?р(х;/р
ную величину =

, где р — простое, (а,р) = 1, д — первообраз-
ный корень по модулю р, а числа х, n.a.h — натуральные, х < р. Также lim h(p) = +оо и hgh < р.
р—>+оо
Теорема 10. Пусть Дх) — величина, определенная выше. Тогда существует такое pi, что для всех р > pi и для 1 ^ г ^ имеет место асимптотическая формула
где в < 1.
Доказательство. Вычислим моменты порядка 2г случайной величины £х для каждого г ^ 1. При этом будем следовать доказательству из [65].

1 _____ _-Т+т
1 2тгг^——

hr р —
/г р-

Ш і,... ,77127-= 1 Ж—
Поскольку ж пробегает приведенную систему вычетов по модулю р, а д — первообразный корень, то адх тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю р.