Коммутаторы и произведения квадратов в частично-коммутативных группах

• Автор: Шестаков, Сергей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 61 с.

1 Основные понятия
1.1 Основные определения
1.2 Диаграммы ван Кампена
1.3 Уравнения в группах
2 Описание коммутаторов
2.1 Частично-коммутативные группы
2.2 Уравнение [ж, у — д в частично-коммутативных группах
3 Произведения двух квадратов
3.1 Уравнение х2у2 = д в частично-коммутативных группах
Список литературы

В настоящей диссертации исследуются некоторые вопросы из области комбинаторной теории групп. Предметом исследования является описание квадратичных уравнений специального вида в частично-коммутативных группах. Мы применяем как комбинаторные, так и геометрические методы, в частности, используем диаграммы ван Кампена.
Частично-коммутативная группа — это группа, заданная при помощи образующих и определяющих соотношений, каждое из которых имеет вид аЪ — Ьа, где а,Ь — различные образующие. Можно сказать, что частично-коммутативные группы занимают промежуточное положение между свободными группами и свободными абелевыми группами, где есть все возможные соотношения коммутативности между образующими. Таким образом, и свободные группы, и свободные абелевы группы являются частными случаями частично-коммутативных групп.
В свою очередь, частично-коммутативные группы являются частным случаем артиновых групп. В артиновых группах все соотношения имеют вид аЬ... — Ьа..., где а,Ь — различные образующие, причем в любом определяющем соотношении длины левой и правой части равны. Если в артиновой группе длины левых и правых частей всех соотношений равны 2, то группа будет частично-коммутативной. Частично-коммутативные

группы называют также прямоугольными артиновыми группами (right-angled Artin groups) и графическими группами (graph groups). С каждой артиновой группой можно связать группу Кокстера, добавляя соотношения вида а? = 1 для всех порождающих группы. Для артиновых групп и групп Кокстера может быть доказан ряд утверждений, сходных с доказанными нами для частично-коммутативных групп (например, лемма 2). Естественно предположить, что могут быть предприняты попытки исследовать в этих группах разрешимость квадратичных уравнений при помощи схожих методов.
Частично-коммутативные группы тесно связаны со свободными группами и обладают многими свойствами, которыми обладают и свободные группы. Так, в частично-коммутативных группах схожим образом со свободными решаются проблема слов и проблема сопряженности, доказательства можно найти в [25] (см. также [12, 17]). В работе [10] доказано, что любые два некоммутирующих элемента в частично-коммутативной группе образуют базис свободной группы. Кроме того, как и в свободных группах, члены нижнего центрального ряда имеют тривиальное пересечение, откуда следует, что частично-коммутативные группы линейно упорядочиваемы (см. [11]).
Эти результаты можно считать обобщениями аналогичных результатов для свободных групп. Однако следующие факты показывают, что частично-коммутативные группы обладают рядом специфических интересных свойств. В группе F2 х F2, которая, очевидно, является частичнокоммутативной, существуют конечно-порожденные подгруппы с неразрешимой проблемой вхождения (см. [6]). Кроме того, в работе [18] дока-

Теперь заменим в слове А подслово х11х~1 на и и воспользуемся коммутативностью ж-1 с А и х с А"' (последнее вытекает из того, что А", А входят в и). Получим, что А равно в (7 слову
Ат... В{х-1АА!1А... А1СА1... А'А^А'І'хВ-1... АтС~1
Обозначим Дж-1 через Д, а А[А"А"' — через А,. Получим, что в группе (7 слово А равно А = ь(Ау, В Аі, Ві, ..., Ат, С). Докажем, что А удовлетворяет условию С2(т). Достаточно проверить условия побук-венной коммутативности для Ві, так как состав букв в слове Аі не увеличился по сравнению со словом Л*, а остальные слова не изменились. Поскольку Ві = Віх, то достаточно проверить несколько условий коммутативности, относящихся к х. Во-первых, х С, так как С входит в и; во-вторых, і н ^ и ж <-> В] при і < і, так как слова А] и Д входят в и при j < ц в-третьих, х <-> А^ при j > і + 1 и х <-+ Bj при j > і, так как х входит в слово Аі.
В итоге мы видим, что А удовлетворяет условию С2(т) и имеет меньшую длину, чем А, что противоречит условию выбора слова А.
Случай 1.2. Буква х содержится в одном из слов Д, 1 < і < т. Тогда из условия х <-► и следует, что ж-1 содержится в слове Вї1, причем вхождения х в Ві и ж-1 в Вї1 являются парными. (См. аргумент, использованный при рассмотрении предыдущего случая.) Следовательно, Ві = В[хВ", а и = В'/Аі ... АСА... Д(Д')_1. Теперь мы подставим выражение для Д в А, сократим через слово V пару букв ж, ж-1 и обозначим В[В" через Ві. Тогда мы получим, что А равно в группе (7 слову А = у{А, В і Аі, Ві, ..., Ат, С). Поскольку в Д состав букв не увеличился по сравнению с Ві, а остальные слова не изменились, то А