Бирациональные свойства кубических гиперповерхностей

• Автор: Трегуб, Семен Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 c. : ил

0 ПЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Соотношения в группе бирациональных автоморфизмов

кубической поверхности с нучком рациональных кривых

§ I Формулировка результатов

§ 3 Доказательство теоремы

Глава II. Бирациональные свойства трехмерной кубической

гиперповерхности

§ I Максимальные особенности бирациональных автоморфизмов

§ 2 Конструкции бирациональных автоморфизмов ... .46 § 3 Конструкция бирационального изоморфизма с

многообразием Фано рода 8, связанная с рациональной

кривой степени

Глава III. Конструкции рациональности кубических гиперповерхностей в размерностях больших чем
Конструкция, связанная с парой подпространств
§ 2 Конструкция,связанная с поверхностью Дель Пеццо . . .81 § 3 Конструкция,связанная с нормповерхностью степени 4. .86 4 Конструкция,связанная с поверхностью Рго]№)ФШ)..89 Литература

I. Изучение бирациональных свойств кубических гиперповерхностей является одной из классических проблем алгебраической геометрии. Эго гиперповерхности наименьшей степени, для которых проблема рациональности становится содержательной. Известно, что всякая квадратичная гиперповерхность, имеющая точку над основным полем, рациональна; бирациональный изоморфизм с проективным пространством осуществляется с помощью стереографической проекции из этой точки.
В диссертации изучаются следующие две основные задачи би-рациональной геометрии применительно к кубическим гиперповерхностям:
а) проблема рациональности;
б) изучение групп бирациональных изоморфизмов в смысле описания образующих и определяющих соотношений.
Отметим, что при определенном подходе эти задачи оказываются тесно связанными в том смысле, что информация о группе бирациональных автоморфизмов, являющейся важнейшим бирациональным инвариантом многообразия, позволяет в некоторых случаях делать вывод о его нерациональности.
Случай кубических кривых хорошо изучен в классической и современной литературе. В геометрической ситуации, т.е. когда основное поле 1Ь алгебраически замкнуто, теория неособых кубических кривых включается, и по существу совпадает с грандиозность неособой кубической кривой - элементарный факт этой теории; изучение групп бирациональных автоморфизмов является менее
ной теорией эллиптических кривых I см.
Нерациональ-

элементарной, но хорошо изученной задачей. Особые кубические кривые имеют ровно одну особую точку и оказываются рациональными.
Арифметическая теория кубических кривых т.е. когда основное поле не алгебраически замкнуто не менее грандиозна и содержательна, чем геометрическая теория. Она включает в себя тонкие вопросы существования точек, описание групп к/ -рациональных точек, в частности, вычисление их ранга, с прменением мощных средств диофантовой геометрии и гомологической алгебры (см. [8]]
2. Существует обширная литература и даже отдельные книги по изучению бирациональных свойств кубических поверхностей ГМ , [Ю] , [2М , [27] . Вопрос о рациональности неособой
кубической поверхности решается здесь положительно. Это хорошо известный классичнский факт. Богатая внутренняя геометрия кубической поверхности ( конфигурация 27 прямых и т.п. ) отражается на содержательной арифметической теории. Описание множества £ -рациональных точек и различных структур на них имеется в [ Ю] • Однако, над незамкнутым .(совершенным^ полем кубические поверхности обладают нетривиальными бирациональными свойствами.
В этой ситуации бирациональная теория кубических поверхностей была развита в работах Б. Сегре [2 5] » Ю.И. Манина С 10] ,
, В.А. Исковских [ , Свиннертона-Дайера [2б] и
др. В этих работах дан исчерпывающий ответ на вопрос а) , т.е. найдены условия рациональности и нерациональности кубической поверхности, и далеко продвинуто решение про них вопроса б)
Вопрос рациональности оказывается зависящим от числа тех из 27 прямых, лежащих на поверхности, которые определены над основ-

Доказательство. Общий элемент системы I, -Ъ -полная неособая поверхность К 3 ~ инвариантен относительно
. Класс слоя морфизма на Т) обозначим через £! ,
а ограничения Н , С0 , Б соответственно через Ь ,
С0 , 5 . Попарные пересечения указанных элементов
следующие:
л-е с!=? &!
Ьс0=2 с>?
М-3 фг
Ь &=1
ем:
пусть ^(Н)=хН'у.
Используя условия инвариантности (, и £ , получасЦ 5,(6' 1(хЬ-ус.-х2)= зх-%-2 -3 ё- 5ь(Ь)-з(хЬ-^-2$)-х-3{/*гг
Инвариантность канонического класса и унимодулярности матрицы действия на 1дс1/^ дают еще одно уравнение:
2.у-х
Решая полученные уравнения, находим У« 2.? ,
Предположим теперь, что Р - конус и -р 6 р Л V* его вершина. Тогда ТАР- О, , где £>. - образующая конуса. Раздуем р , и, удалив из полученного многообразия особые точки 0о , раздуем и С0
Линейная система к-цн- 2р-С0-$| на "У^ определяет морфизм ^ : */^ *■—*- |Р с общим слоем - эллиптической кривой